Školní testy – řešení a příprava

1. Test 1 – desetinná čísla a osová souměrnost

Co v testu bylo: zaokrouhlování na různé řády, násobení a dělení desetinných čísel zpaměti, aritmetický průměr a konstrukce trojúhelníku podle sss s obrazem v osové souměrnosti.

Úloha 1: Zaokrouhli na setiny, jednotky, tisíce, stovky, desetiny

a) 739 848,0218

b) 14 998,996

Na setiny: 14 998,99|6 → 6 ≥ 5 → 14 998,99 + 0,01 = 14 999,00

Devítky „přetečou“: 99 setin + 1 setina = 1 celá. Nuly za čárkou nech – ukazují, že je to zaokrouhleno na setiny (14 999,00), na desetiny (14 999,0).

c) 31 093,3462

Trénuj: Zaokrouhlování · Generátor desetinných čísel

Úloha 2: Vypočítej zpaměti

Trénuj: Dělení desetinných čísel · Posun čárky · Generátor

Úloha 3: Aritmetický průměr 1,8; 1,6; 0,8; 2,4; 2,2

součet: 1,8 + 1,6 + 0,8 + 2,4 + 2,2 = 8,8
počet čísel: 5
průměr: 8,8 : 5 = 1,76
zkouška: 1,76 · 5 = 8,8 ✓

Dělení 8,8 : 5 pod sebou: 8 : 5 = 1, zbytek 3 → 38 : 5 = 7, zbytek 3 → 30 : 5 = 6 → 1,76.

Trénuj: Průměr · Generátor

Úloha 4: △ABC, a = 6,5 cm, b = 8 cm, c = 5 cm, osa vrcholem B ∥ AC

Rozbor: známe všechny tři strany → věta sss. Trojúhelníková nerovnost: 5 + 6,5 = 11,5 > 8 ✓, trojúhelník jde sestrojit. Nejdelší stranu b = |AC| narýsuju jako první. Osa o prochází bodem B a je rovnoběžná s AC.

Zápis konstrukce:

1. AC; |AC| = b = 8 cm
2. k; k(A; c = 5 cm)
3. l; l(C; a = 6,5 cm)
4. B; B ∈ k ∩ l
5. △ABC
6. o; B ∈ o, o ∥ AC
7. A′; A′ leží na kolmici z A k ose o, |A′o| = |Ao|, na druhé straně osy
8. C′; stejně jako A′
9. B′ = B (leží na ose)
10. △A′B′C′

Rovnoběžku vedeš dvěma pravítky (trojúhelníky): jedno přiložíš k AC, druhé pod něj a posuneš až k B. Vzdálenost bodu od osy měříš po kolmici.

Trénuj: Popis trojúhelníku · Postup konstrukce · Osová souměrnost

Podobný test na zkoušku

2. Test 2 – jednotky, výšky, těžnice, D a n

Co v testu bylo: převody jednotek délky, hmotnosti a obsahu, doplňovačka o průsečíku výšek a těžišti, konstrukce výšek a těžnic a výpočet n a D.

Úloha 1: Převody jednotek

6,2 m = ? mm: 1 m = 1 000 mm → 6,2 · 1 000 = 6 200 mm
5,21 dkg = ? g: 1 dkg = 10 g → 5,21 · 10 = 52,1 g
986,28 dm² = ? m²: 1 m² = 100 dm² → 986,28 : 100 = 9,8628 m²
983,7 m² = ? a: 1 a = 100 m² → 983,7 : 100 = 9,837 a

Proč 100? 1 m² je čtverec 10 dm × 10 dm, tedy 100 dm². Stejně 1 a je čtverec 10 m × 10 m = 100 m².

Trénuj: Posun čárky (· a : 10, 100, 1 000)

Úloha 2: Doplň

Průsečík výšek v tupoúhlém △ leží vně (mimo) trojúhelník.
V ostroúhlém △ leží uvnitř.
Průsečík těžnic, neboli těžiště, leží vždy uvnitř trojúhelníku.

Úloha 3: Výšky, průsečík výšek, těžnice a těžiště

Postup – výšky:

1. Přiložím trojúhelník s ryskou k protější straně (u tupoúhlého ji nejdřív tence prodloužím).
2. Posunu ho až k vrcholu a narýsuji kolmici → výška, pata výšky, značka pravého úhlu.
3. Totéž pro druhou výšku. Průsečík = V (ortocentrum). Třetí výška je kontrola.
4. U tupoúhlého se protínají až přímky výšek – prodloužím je za vrchol tupého úhlu.

Postup – těžnice:

1. Najdu středy stran S_a, S_b, S_c (změřím a rozpůlím, nebo osou strany).
2. Spojím každý vrchol se středem protější strany: t_a = AS_a, t_b = BS_b, t_c = CS_c.
3. Průsečík = T (těžiště). Dělí těžnici v poměru 2 : 1 (delší díl u vrcholu).

Trénuj: Výšky · Těžnice a těžiště

Úloha 4: n(36; 16) a D(144; 48)

36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2² · 3²
16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁴
n(36; 16) = 2⁴ · 3² = 16 · 9 = 144

n vezme každé prvočíslo, které se v rozkladech objeví, s nejvyšší mocninou. Kontrola: 144 : 36 = 4 ✓, 144 : 16 = 9 ✓.

144 = 2 · 72 = 2 · 2 · 36 = 2 · 2 · 2 · 2 · 9 = 2⁴ · 3²
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 2⁴ · 3
D(144; 48) = 2⁴ · 3 = 48

D vezme jen společná prvočísla s nižší mocninou. Rychlá kontrola: 144 : 48 = 3, takže 48 dělí 144 a větší společný dělitel než 48 být nemůže.

Trénuj: Pravidla dělitelnosti · D a n z rozkladu

Podobný test na zkoušku

3. Test 3 (skupina A) – pod sebou a konstrukce

Co v testu bylo: sčítání, odčítání a násobení desetinných čísel pod sebou, dělení na dvě desetinná místa se zbytkem a zkouškou a konstrukce trojúhelníku sus s výškou, těžnicí a kružnicí opsanou.

Úloha 1: Vypočítej pod sebou

  5 869,250
      3,600
+   100,698
───────────
  5 973,548

  58,300
− 29,879
────────
  28,421

Odčítání zprava: 0 − 9 nejde → půjčím si: 10 − 9 = 1. Pak 0 − 7 (+1 vrácená) nejde → 10 − 8 = 2. Pak 3 − 8 (+1) nejde → 13 − 9 = 4. Pak 8 − 9 (+1) nejde → 18 − 10 = 8. Nakonec 5 − 2 (+1) = 2. Výsledek 28,421.

    6,2
  · 4,8
  ─────
    496
   248
  ─────
  29,76

Úloha 2: 0,76 : 3,1 na dvě desetinná místa, zbytek a zkouška

1. Posunu čárky o 1 místo doprava (dělitel bude celé číslo):
0,76 : 3,1 → 7,6 : 31
2. Dělím: 7 : 31 = 0 → píšu 0, čárku
76 : 31 = 2, 2 · 31 = 62, 76 − 62 = 14
140 : 31 = 4, 4 · 31 = 124, 140 − 124 = 16
7,6 : 31 = 0,24, zbytek v posunutém příkladu 0,16
3. Zbytek vrátím zpět (o 1 místo doleva): zbytek 0,016
4. Zkouška: 3,1 · 0,24 + 0,016 = 0,744 + 0,016 = 0,76 ✓

Trénuj: Dělení desetinných čísel · Sčítání a odčítání pod sebou · Generátor

Úloha 3: △ABC, |AB| = 4,5 cm, |AC| = 6,2 cm, α = 130°; v_c, t_c, kružnice opsaná

Rozbor: známe dvě strany a úhel, který svírají → věta sus. Úhel α = 130° je tupý, takže výška v_c dopadne na prodloužení strany AB za vrchol A a střed kružnice opsané bude mimo trojúhelník.

Zápis konstrukce:

1. AB; |AB| = 4,5 cm
2. ∢BAX; |∢BAX| = 130°
3. k; k(A; 6,2 cm)
4. C; C ∈ k ∩ ↦AX
5. △ABC

Výška v_c: prodloužím AB za A, z bodu C vedu kolmici na přímku AB, pata P_c. Změřím: v_c = |CP_c| ≈ 4,7 cm.

Těžnice t_c: najdu střed S_c strany AB (|AS_c| = 2,25 cm), spojím s C. Změřím: t_c = |CS_c| ≈ 7,8 cm.

Kružnice opsaná: osa strany AB a osa strany AC se protnou v bodě S. Poloměr r = |SA| ≈ 6,3 cm. Kružnice k(S; r) prochází všemi třemi vrcholy.

Délky jsou spočítané z přesného náčrtu. Při rýsování ti může vyjít o 1 mm víc nebo míň – to je v pořádku.

Trénuj: Postup konstrukce · Věta sus · Výšky a těžnice · Kružnice opsaná

Podobný test na zkoušku

4. Test 3 – dělitelnost

Co v testu bylo: doplňování cifer podle znaků dělitelnosti 3, 4 a 9, společní dělitelé a násobky, množina dělitelů, rozklad na prvočinitele a sestavování čísel dělitelných 3.

Úloha 1: Doplň cifru za *, aby číslo bylo dělitelné 9 (všechny možnosti)

1260*: 1 + 2 + 6 + 0 = 9 → 9 + * ∈ {9, 18} → * = 0 nebo 9 (12 600, 12 609)
41983*: 4 + 1 + 9 + 8 + 3 = 25 → 25 + * = 27 → * = 2 (419 832)
3*276: 3 + 2 + 7 + 6 = 18 → 18 + * ∈ {18, 27} → * = 0 nebo 9 (30 276, 39 276)

Úloha 2: Číslo 52* dělitelné 3 a zároveň násobek 4

násobek 4 → dvojčíslí 2* dělitelné 4: 20, 24, 28 → * ∈ {0, 4, 8}
dělitelné 3 → 5 + 2 + * = 7 + * dělitelné 3 → * ∈ {2, 5, 8}
obojí platí jen pro * = 8 → 528 (528 : 12 = 44 ✓)

Úloha 3: Čísla 20, 28, 32

a) společní dělitelé všech tří: 20 = 2² · 5, 28 = 2² · 7, 32 = 2⁵ → D = 2² = 4 → společní dělitelé jsou dělitelé 4: 1, 2, 4
b) n(20; 32): 20 = 2² · 5, 32 = 2⁵ → n = 2⁵ · 5 = 160 → dva společné násobky: 160 a 320
c) D(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}

Dělitele hledej v párech: 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7. Tak žádný nevynecháš.

Úloha 4: Rozklad na prvočinitele

168 = 2 · 84 = 2 · 2 · 42 = 2 · 2 · 2 · 21 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2³ · 3 · 7
90 = 2 · 45 = 2 · 3 · 15 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 3² · 5
360 = 2 · 180 = 2 · 2 · 90 = 2 · 2 · 2 · 45 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5

Děl postupně 2, dokud to jde, pak 3, 5, 7… Na konci musí zůstat samá prvočísla. Kontrola: všechno vynásob zpět.

Úloha 5: Z číslic 1, 2, 5, 8 všechna trojciferná čísla dělitelná 3 (bez opakování)

vyberu 3 číslice ze 4 a spočítám ciferný součet:
1, 2, 5 → 8 ✗ · 1, 2, 8 → 11 ✗ · 1, 5, 8 → 14 ✗ · 2, 5, 8 → 15 ✓
z číslic 2, 5, 8: 258, 285, 528, 582, 825, 852 (6 čísel)

Systém na pořadí: začni nejmenší číslicí a prohazuj zbylé dvě. Tři číslice dají vždy 6 čísel.

Trénuj: Pravidla dělitelnosti · Znaky dělitelnosti · D a n

Podobný test na zkoušku

5. Test 4 – souměrnosti, celá čísla, úhly

Co v testu bylo: konstrukce trojúhelníku sus a usu s obrazem v osové a středové souměrnosti, výška a těžnice v tupoúhlém trojúhelníku, příklady s celými čísly a vedlejší a vrcholové úhly.

Úloha 1: △RST, r = 5,8 cm, s = 4,2 cm, |∢RTS| = 80°, osová souměrnost s osou mimo △

Rozbor: r = |ST| (naproti R), s = |RT| (naproti S). Úhel ∢RTS je u vrcholu T a svírají ho právě strany TS a TR → věta sus.

1. ST; |ST| = r = 5,8 cm
2. ∢STX; |∢STX| = 80°
3. k; k(T; s = 4,2 cm)
4. R; R ∈ k ∩ ↦TX
5. △RST
6. o; přímka mimo trojúhelník
7. R′, S′, T′: z každého vrcholu kolmice k ose o, za osu stejně daleko
8. △R′S′T′

Obraz v osové souměrnosti je shodný trojúhelník, jen „zrcadlově převrácený“: vrcholy R′, S′, T′ jdou po směru hodinových ručiček.

Úloha 2: △ABC, b = 63 mm, α = 50°, γ = 75°, středová souměrnost se středem uvnitř

Rozbor: b = |AC| = 6,3 cm. Úhly α (u A) a γ (u C) leží na obou koncích strany b → věta usu. Kontrola: 50° + 75° = 125° < 180° ✓, β = 180° − 125° = 55°.

1. AC; |AC| = b = 6,3 cm
2. ∢CAX; |∢CAX| = 50°
3. ∢ACY; |∢ACY| = 75° (na stejnou stranu od AC)
4. B; B ∈ ↦AX ∩ ↦CY
5. △ABC
6. S; bod uvnitř △ABC
7. A′; A′ ∈ ↦AS, |SA′| = |SA| (za bodem S); stejně B′ a C′
8. △A′B′C′

Ve středové souměrnosti je S střed úsečky AA′. Obraz je otočený o 180°, vrcholy jdou dál proti směru hodinových ručiček.

Úloha 3: Výška v_p a těžnice t_p v tupoúhlém △RPO

Rozbor: index p patří k vrcholu P. Obě čáry vycházejí z P a míří na protější stranu p = |RO|.

v_p: prodloužím RO, z P kolmice na přímku RO, pata P_p (u tupého úhlu u R leží za R)
t_p: střed S_p strany RO, spojím s P

Trénuj: Osová a středová souměrnost · Postup konstrukce · Výšky a těžnice

Úloha 4: Vypočítej

Trénuj: Generátor příkladů s celými čísly · Pravidla

Úloha 5: Dopočítej úhly

vedlejší k 84°16′: 180° − 84°16′ = 179°60′ − 84°16′ = 95°44′; vrcholový: 84°16′
vedlejší k 125°39′: 179°60′ − 125°39′ = 54°21′; vrcholový: 125°39′

Kontrola sčítáním: 84°16′ + 95°44′ = 179°60′ = 180° ✓

Trénuj: Dopočet úhlů

Podobný test na zkoušku

6. Test

25 otázek ze všech školních testů. Klikni na odpověď, hned uvidíš, jestli je správně, a proč. Počítej na papír, kalkulačku nepotřebuješ.

7. Tahák na jednu stranu

🖨️ Vytisknout tahák