Matematika · Cvičení z matematiky 25. 9. · Trojúhelník – rýsování

Výšky, těžnice a střední příčky

Každý trojúhelník v sobě skrývá další čáry: výšky, těžnice a střední příčky. Naučíš se je přesně narýsovat, najít ortocentrum a těžiště a sestrojit trojúhelník, když je v zadání výška nebo těžnice. Nakonec si vyzkoušej test.

Konstrukce podle vět sss, sus a usu tu znovu nevykládáme. Najdeš je na stránce Úhly a konstrukce trojúhelníku.

1. Zásady rýsování

Přesný obrázek je půlka úspěchu. Když rýsuješ nepřesně, výšky se neprotnou v jednom bodě a těžiště „uteče“.

Pomůcky

Ostře ořezaná tužka (tvrdší, ať je čára tenká), pravítko, trojúhelník s ryskou, kružítko s ořezanou tuhou a guma. Tuha v kružítku má být stejně dlouhá jako hrot.

Čáry

Pomocné čáry (kružnice, rovnoběžky) rýsuj tence a nemaž je – ukazují, jak jsi postupoval. Výsledný trojúhelník obtáhni silněji.

Jak trojúhelník popsat

Vrcholy A, B, C píšeš proti směru hodinových ručiček.
Strana leží proti vrcholu se stejným písmenem: a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|.

Úhly mají řecká písmena podle vrcholu: α u vrcholu A, β u B, γ u C. Vrcholy jsou velká písmena, strany malá.

Práce s kružítkem

Poloměr nastav na pravítku: hrot dej na nulu, tuhu na potřebnou délku. Pak kružnici (nebo jen oblouk) rýsuj jedním tahem. Oblouk stačí tam, kde čekáš průsečík – nemusíš kreslit celou kružnici.

Kontrola měřením

Když máš hotovo, změř zadané délky a úhly. Liší-li se o víc než asi 1 mm (nebo o pár stupňů), rýsuj znovu. U výšek zkontroluj, že se tři výšky opravdu protnou v jednom bodě. U těžnic totéž.

Špatně: vrcholy po směru hodinových ručiček
Správně: A → B → C proti směru hodinových ručiček

Špatně: strana a leží mezi A a B
Správně: a = |BC|, leží proti vrcholu A

Fígl na test: Strana se jmenuje podle vrcholu, který na ní neleží. Na straně c leží vrcholy A a B, tedy c = |AB|.

2. Výšky trojúhelníku

Výška je úsečka, která vede z vrcholu kolmo na přímku protější strany.

Výšku z vrcholu A značíme v_a (dopadá na stranu a), z B je v_b, z C je v_c. Délka výšky je vzdálenost vrcholu od přímky, na které leží protější strana. Bod, kam výška dopadne, je pata výšky.

Jak výšku narýsovat

1. Přilož trojúhelník s ryskou tak, aby ryska ležela na straně (například na AB).
2. Posuň ho po straně, až se jeho hrana dotkne vrcholu C.
3. Narýsuj úsečku z C k přímce AB. Pata výšky je P_c.
4. Vyznač pravý úhel obloučkem s tečkou nebo „stříškou“.

Ortocentrum – průsečík výšek

Všechny tři výšky (nebo jejich přímky) se protnou v jednom bodě. Ten se jmenuje ortocentrum. Značíme ho V. Kde leží, záleží na tom, jaký je trojúhelník.

Ostroúhlý trojúhelník: všechny výšky leží uvnitř, ortocentrum V je také uvnitř.

Tupoúhlý trojúhelník (tupý úhel u B): výšky v_a a v_c dopadají na prodloužení stran (čárkovaně). Ortocentrum leží mimo trojúhelník – najdeš ho, až když prodloužíš všechny tři výšky.

Pravoúhlý trojúhelník (pravý úhel u C): odvěsny jsou samy výškami (v_a = |AC|, v_b = |BC|). Všechny tři výšky se potkají ve vrcholu pravého úhlu, tedy V = C.

Trojúhelník	Výšky	Ortocentrum V
ostroúhlý	všechny uvnitř	uvnitř
pravoúhlý	dvě jsou odvěsny, třetí jde na přeponu	ve vrcholu pravého úhlu
tupoúhlý	dvě dopadají na prodloužení stran	mimo trojúhelník

Špatně: výška vede do středu protější strany
Správně: výška je kolmá na stranu; do středu vede těžnice

Špatně: u tupoúhlého výška „nejde“ narýsovat
Správně: prodloužíš stranu a výšku spustíš na prodloužení

Fígl na test: Výška = pravý úhel. Když na obrázku u paty není pravý úhel, není to výška. Ortocentrum si pamatuj podle úhlu: ostrý – uvnitř, pravý – ve vrcholu, tupý – venku.

3. Těžnice a těžiště

Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol se středem protější strany.

Středy stran značíme S_a, S_b, S_c. Těžnice z vrcholu A je t_a = |AS_a|, z B je t_b = |BS_b|, z C je t_c = |CS_c|.

Jak najít střed strany

Buď stranu změříš a půlku odměříš, nebo použiješ kružítko (přesnější): z obou krajních bodů narýsuj oblouky se stejným poloměrem větším než polovina strany. Přímka přes dva průsečíky oblouků (osa úsečky) protne stranu přesně v jejím středu.

Těžiště T

Tři těžnice se protnou v jednom bodě – v těžišti T. Těžiště leží vždy uvnitř trojúhelníku, ať je ostroúhlý, pravoúhlý, nebo tupoúhlý.

Těžiště dělí každou těžnici v poměru 2 : 1, větší díl je u vrcholu.
|CT| = ⅔ · t_c · |TS_c| = ⅓ · t_c

Proč „těžiště“? Vystřihni trojúhelník z kartonu. Když ho podepřeš špičkou tužky přesně v těžišti, udrží rovnováhu.

Počítáme s těžnicí

a) Těžnice t_c měří 9 cm. Jak daleko je těžiště od vrcholu C a od středu S_c?

Těžnici rozdělím na 3 díly: 9 : 3 = 3 cm (1 díl)
|CT| = 2 díly = 2 · 3 = 6 cm
|TS_c| = 1 díl = 3 cm
Kontrola: 6 + 3 = 9 cm ✓

b) Těžiště je od středu S_a vzdálené 2,5 cm. Jak dlouhá je těžnice t_a?

|TS_a| = 1 díl = 2,5 cm
|AT| = 2 díly = 5 cm
t_a = 3 díly = 3 · 2,5 = 7,5 cm

c) Těžiště je od vrcholu B vzdálené 8 cm. Jak dlouhá je těžnice t_b?

|BT| = 2 díly = 8 cm → 1 díl = 4 cm
t_b = 8 + 4 = 12 cm

Špatně: těžiště je v půlce těžnice
Správně: dělí ji 2 : 1, blíž je ke straně

Špatně: |TS_a| = 2,5 cm → t_a = 5 cm
Správně: t_a = 3 · 2,5 = 7,5 cm

Fígl na test: Mysli v dílech: celá těžnice = 3 díly, od vrcholu k těžišti 2 díly, od těžiště ke straně 1 díl. Nejdřív spočítej, kolik je 1 díl.

4. Střední příčky

Střední příčka spojuje středy dvou stran. Je rovnoběžná se třetí stranou a je poloviční.

Trojúhelník má tři střední příčky: S_aS_b ∥ AB, S_bS_c ∥ BC, S_aS_c ∥ AC. Každá je rovnoběžná se stranou, se kterou nemá společný bod.

|S_aS_b| = c : 2, |S_bS_c| = a : 2, |S_aS_c| = b : 2
Střední příčky rozdělí trojúhelník na 4 shodné trojúhelníky.
Trojúhelník ze středních příček má poloviční obvod.

Trojúhelník má strany a = 10 cm, b = 8 cm, c = 6 cm. Jak dlouhé jsou střední příčky a jaký obvod má trojúhelník, který tvoří?

Špatně: střední příčka spojuje vrchol se středem strany
Správně: to je těžnice; střední příčka spojuje dva středy stran

Fígl na test: Výška – vrchol a pravý úhel. Těžnice – vrchol a střed. Střední příčka – střed a střed.

5. Vyzkoušej si: tažitelný trojúhelník

Chyť vrchol A, B nebo C a táhni ho (myší i prstem). Vrchol skáče po půl centimetru. Zapni výšky, těžnice nebo střední příčky a sleduj, kde leží ortocentrum V a těžiště T.

Měřit těžnici z vrcholu:

Zkus: nastav pravoúhlý trojúhelník a zapni výšky – ortocentrum skočí do vrcholu pravého úhlu. Pak táhni vrchol tak, aby úhel byl tupý, a sleduj, jak V vyjede ven. Těžiště T zůstane vždycky uvnitř.

6. Konstrukce trojúhelníku se zadanou výškou

Konstrukční úloha má vždy čtyři části: rozbor (náčrt a úvaha), zápis konstrukce, konstrukce (samotné rýsování) a diskuse (kolik má úloha řešení).

Sestroj △ABC, je-li c = 6 cm, v_c = 4 cm, a = 5 cm.

Rozbor. Načrtni si trojúhelník od ruky a vyznač zadané údaje barevně. Stranu AB narýsuješ hned. Kde je bod C?

C je od přímky AB vzdálený 4 cm (to je výška) → leží na rovnoběžce p s AB ve vzdálenosti 4 cm.
C je od bodu B vzdálený 5 cm (to je strana a) → leží na kružnici k(B; 5 cm).

Zápis konstrukce:

1. AB; |AB| = 6 cm
2. p; p ∥ AB, |p, AB| = 4 cm
3. k; k(B; 5 cm)
4. C; C ∈ p ∩ k
5. △ABC

Konstrukce. Rovnoběžku p narýsuješ tak, že v bodě A (nebo kdekoli na AB) vztyčíš kolmici, naneseš na ni 4 cm a tímto bodem vedeš rovnoběžku s AB.

Diskuse. Kružnice k protne rovnoběžku p ve dvou bodech C₁ a C₂, protože a = 5 cm je víc než v_c = 4 cm. Úloha má v jedné polorovině 2 řešení: △ABC₁ a △ABC₂. Nejsou shodné (b₁ ≈ 9,8 cm, b₂ = 5 cm). Trojúhelníky v druhé polorovině by s nimi byly shodné, ty nepočítáme.

Kontrola měřením: |BC₁| = |BC₂| = 5 cm, vzdálenost C₁ i C₂ od přímky AB je 4 cm.

Když platí	k a p mají společné	Počet řešení (v jedné polorovině)
a > v_c	2 body	2
a = v_c	1 bod (dotyk)	1 – pravý úhel u vrcholu B
a < v_c	nic	0 – trojúhelník nejde sestrojit

Špatně: výšku 4 cm naneseš z bodu A a vrchol C dáš na její konec
Správně: výška jen říká, že C leží na rovnoběžce p; přesné místo určí až kružnice

Fígl na test: Zadaná výška v_c = rovnoběžka s AB ve vzdálenosti v_c. Zadaná strana = kružnice. Vrchol leží v průsečíku.

7. Konstrukce trojúhelníku se zadanou těžnicí

Sestroj △ABC, je-li c = 7 cm, t_c = 4 cm, b = 5 cm.

Rozbor. Těžnice t_c vede z vrcholu C do středu S_c strany AB. Střed najdeš, jakmile máš AB. Bod C pak:

je od S_c vzdálený 4 cm → leží na kružnici k₁(S_c; 4 cm),
je od A vzdálený 5 cm (strana b) → leží na kružnici k₂(A; 5 cm).

Zápis konstrukce:

1. AB; |AB| = 7 cm
2. S_c; S_c je střed AB
3. k₁; k₁(S_c; 4 cm)
4. k₂; k₂(A; 5 cm)
5. C; C ∈ k₁ ∩ k₂
6. △ABC

Diskuse. Kružnice k₁ a k₂ se protnou ve dvou bodech – jeden nad AB, druhý pod AB. Oba trojúhelníky jsou souměrné podle přímky AB, tedy shodné. Úloha má 1 řešení.

Kontrola měřením: |AC| = 5 cm, |CS_c| = 4 cm. Strana a vyjde asi 5,6 cm.

Kdy řešení není? Když se kružnice k₁ a k₂ neprotnou. Například pro c = 7 cm, t_c = 1 cm, b = 6 cm: S_c je od A 3,5 cm, k₁ sahá nejdál 3,5 + 1 = 4,5 cm od A. To je méně než 6 cm, takže k₁ leží celá uvnitř k₂ a průsečík neexistuje.

Špatně: k₁(A; 4 cm) – těžnici měřím od vrcholu A
Správně: k₁(S_c; 4 cm) – těžnice t_c končí ve středu S_c

Fígl na test: Je v zadání těžnice? Hned po první straně najdi střed strany – z něj rýsuješ kružnici s poloměrem rovným těžnici.

8. Otázky a odpovědi

Zkus si nejdřív odpovědět sám. Pak klikni na otázku a podívej se na odpověď.

V jakém pořadí popisuješ vrcholy trojúhelníku?

A, B, C proti směru hodinových ručiček.

Vrcholy velkými písmeny, strany malými: strana leží proti vrcholu se stejným písmenem.

Která strana je a, b a c?

a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|

Strana a leží proti vrcholu A, nevede jím.

Co je výška trojúhelníku a kde leží ortocentrum?

Úsečka z vrcholu kolmá na přímku protější strany. Ortocentrum V je průsečík výšek.

Ostroúhlý – V uvnitř, pravoúhlý – V ve vrcholu pravého úhlu, tupoúhlý – V mimo trojúhelník.

Kam dopadá výška z vrcholu C, když je u vrcholu B tupý úhel?

Na prodloužení strany AB za bod B.

Stranu AB prodloužíš čárkovaně a výšku na ni spustíš kolmo.

Těžnice t_b měří 12 cm. Jak daleko je těžiště od vrcholu B a od středu S_b?

1 díl = 12 : 3 = 4 cm → |BT| = 8 cm, |TS_b| = 4 cm

Poměr 2 : 1, větší díl u vrcholu.

Těžiště je od středu S_a vzdálené 1,8 cm. Jak dlouhá je těžnice t_a a jak daleko je T od vrcholu A?

t_a = 3 · 1,8 = 5,4 cm, |AT| = 2 · 1,8 = 3,6 cm

Může těžiště ležet mimo trojúhelník?

Ne. Těžiště leží vždy uvnitř.

Mimo trojúhelník může ležet ortocentrum (u tupoúhlého trojúhelníku).

Trojúhelník má strany a = 9 cm, b = 7 cm, c = 5 cm. Jak dlouhé jsou střední příčky?

4,5 cm, 3,5 cm a 2,5 cm

Každá je polovinou strany, se kterou je rovnoběžná. Jejich součet 10,5 cm je polovina obvodu 21 cm.

Kdy splývá výška s těžnicí?

V rovnoramenném trojúhelníku: výška a těžnice na základnu jsou totéž.

V rovnostranném trojúhelníku splývají všechny tři výšky s těžnicemi, takže ortocentrum a těžiště jsou jeden bod.

Kolik řešení má úloha c = 6 cm, v_c = 4 cm, a = 3 cm?

Žádné.

Kružnice k(B; 3 cm) nedosáhne na rovnoběžku p, která je od AB 4 cm. Strana a nemůže být kratší než výška v_c.

Kolik řešení má úloha c = 7 cm, t_c = 1 cm, b = 6 cm?

Žádné.

S_c je od A 3,5 cm. Kružnice k₁(S_c; 1 cm) sahá nejdál 4,5 cm od A, kružnice k₂(A; 6 cm) je dál. Neprotnou se.

Proč nemazat pomocné čáry?

Ukazují postup konstrukce.

Podle nich učitel (i ty) zkontroluje, že sedí se zápisem konstrukce. Stačí je rýsovat tence.

9. Dopiš do sešitu

Tohle si opiš do sešitu. Stačí to na celou kapitolu.

Popis: vrcholy A, B, C proti směru hodinových ručiček; a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|; úhly α, β, γ u vrcholů A, B, C.

Výška – úsečka z vrcholu kolmá na přímku protější strany (v_a, v_b, v_c).
Průsečík výšek = ortocentrum V: ostroúhlý – uvnitř, pravoúhlý – ve vrcholu pravého úhlu, tupoúhlý – vně (výšky na prodloužení stran).

Těžnice – spojuje vrchol se středem protější strany (t_a = |AS_a| …).
Průsečík těžnic = těžiště T, vždy uvnitř. Dělí těžnici v poměru 2 : 1 od vrcholu: |AT| = ⅔ t_a, |TS_a| = ⅓ t_a.

Střední příčka – spojuje středy dvou stran, je rovnoběžná se třetí stranou a má poloviční délku. Tři příčky dělí trojúhelník na 4 shodné trojúhelníky.

Konstrukční úloha: rozbor – zápis – konstrukce – diskuse.
Zadaná v_c → C leží na rovnoběžce s AB ve vzdálenosti v_c.
Zadaná t_c → najdu S_c, C leží na kružnici k(S_c; t_c).

10. Test

Klikni na odpověď. Hned uvidíš, jestli je správně, a proč. Na počítání si vezmi papír, na konstrukce náčrtek. Na konci zkus test celý znovu – dokud nebudeš mít všechno.

0 / 0

11. Tahák na jednu stranu

Rýsování a popis

Ostrá tužka, tenké pomocné čáry (nemazat), výsledek obtáhnout. Na konci změřit.
Vrcholy A, B, C proti směru hodinových ručiček. a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|. Úhly α, β, γ.
sss, sus, usu: stránka Úhly a konstrukce trojúhelníku.

Výšky

Z vrcholu kolmo na (přímku) protější stranu. Délka = vzdálenost vrcholu od přímky.
Ortocentrum V: ostroúhlý uvnitř · pravoúhlý ve vrcholu pravého úhlu · tupoúhlý vně (výšky na prodloužení stran).

Těžnice

Z vrcholu do středu protější strany. Těžiště T vždy uvnitř.
T dělí těžnici 2 : 1 od vrcholu: t_c = 9 cm → |CT| = 6 cm, |TS_c| = 3 cm.

Střední příčky

Spojují středy stran. Rovnoběžné se třetí stranou, poloviční délka (|S_aS_b| = c : 2).
4 shodné trojúhelníky, trojúhelník z příček má poloviční obvod.

Konstrukce

Rozbor – zápis – konstrukce – diskuse.
c, v_c, a: AB; p ∥ AB, |p, AB| = v_c; k(B; a); C ∈ p ∩ k. a > v_c → 2 řešení, a = v_c → 1, a < v_c → 0.
c, t_c, b: AB; S_c; k₁(S_c; t_c); k₂(A; b); C ∈ k₁ ∩ k₂.