Matematika · Cvičení z matematiky 11. 9. · úhly a konstrukce trojúhelníku

Vždycky 180°

Ať nakreslíš trojúhelník jakkoli, jeho tři úhly dají dohromady 180°. Naučíš se dopočítat chybějící úhel, poznat druh trojúhelníku, zjistit, jestli jde vůbec sestrojit, a sestrojit ho podle vět sss, sus a usu.

Výšky, těžnice a střední příčky najdeš v kapitole Trojúhelník – rýsování, kružnice opsanou a vepsanou v kapitole Kružnice opsaná a vepsaná.

1. Součet vnitřních úhlů je 180°

Trojúhelník ABC má tři vnitřní úhly. Značíme je řeckými písmeny podle vrcholů: u A je α (alfa), u B β (beta), u C γ (gama).

α + β + γ = 180°

Proč to platí? Obrázek s rovnoběžkou

Vrcholem C vedeme přímku p rovnoběžnou se stranou AB. U vrcholu C se objeví tři úhly vedle sebe:

Vlevo od C je úhel stejně velký jako α – je to střídavý úhel (AB ∥ p, AC je příčka).
Vpravo od C je úhel stejně velký jako β – taky střídavý úhel.
Uprostřed je γ.
Tyhle tři úhly leží na přímce p → tvoří přímý úhel 180°.
Proto α + β + γ = 180°.

Ověř si to rukama: Vystřihni z papíru trojúhelník, utrhni mu všechny tři rohy a přilož je k sobě špičkami. Vždycky dají dohromady rovnou čáru – přímý úhel 180°.

Co z toho hned plyne

Trojúhelník má nejvýš jeden pravý nebo tupý úhel. Dva pravé by daly 90° + 90° = 180° a na třetí úhel by nezbylo nic.
Aspoň dva úhly jsou vždy ostré.
Proti největší straně leží největší úhel, proti nejmenší straně nejmenší úhel.

2. Výpočet chybějícího úhlu

Znáš dva úhly? Třetí dopočítáš: od 180° odečti součet dvou známých.

γ = 180° − (α + β)

a) V △ABC je α = 47° a β = 68°. Vypočítej γ.

α + β = 47° + 68° = 115°
γ = 180° − 115° = 65°
Zkouška: 47° + 68° + 65° = 180° ✓

b) Pravoúhlý trojúhelník má pravý úhel u C a α = 28°. Vypočítej β.

γ = 90°
β = 180° − (90° + 28°) = 180° − 118° = 62°

Zkratka: v pravoúhlém trojúhelníku dají oba ostré úhly dohromady 90°. Takže β = 90° − 28° = 62°.

Úhly ve stupních a minutách

1° = 60′ (minut). Při odčítání od 180° si „půjč“ jeden stupeň: 180° = 179°60′.

c) α = 52°30′, β = 71°45′. Vypočítej γ.

α + β = 52°30′ + 71°45′ = 123°75′ = 124°15′ (75′ = 1°15′)
γ = 180° − 124°15′ = 179°60′ − 124°15′ = 55°45′
Zkouška: 52°30′ + 71°45′ + 55°45′ = 178°120′ = 180° ✓

Úhly zadané „slovně“

d) V pravoúhlém trojúhelníku je jeden ostrý úhel dvakrát větší než druhý. Jak velké jsou?

Ostré úhly mají dohromady 180° − 90° = 90°.
Menší úhel = 1 díl, větší = 2 díly → celkem 3 díly.
1 díl = 90° : 3 = 30°
Úhly jsou 30°, 60° a 90°.

e) Úhly trojúhelníku jsou v poměru 2 : 3 : 4. Vypočítej je.

2 + 3 + 4 = 9 dílů → 1 díl = 180° : 9 = 20°
α = 2 · 20° = 40°, β = 3 · 20° = 60°, γ = 4 · 20° = 80°
Zkouška: 40° + 60° + 80° = 180° ✓

Fígl na test: Na konci vždycky sečti všechny tři úhly. Když nevyjde přesně 180°, někde je chyba. U minut hlídej, že 60′ = 1°, ne 100′.

3. Vnější úhel

Prodluž jednu stranu trojúhelníku za vrchol. Úhel mezi prodloužením a sousední stranou je vnější úhel. Značí se čárkou: α′, β′, γ′.

Vnitřní a vnější úhel u stejného vrcholu jsou vedlejší úhly, mají dohromady 180°. Proto:

β′ = 180° − β = α + γ
Vnější úhel = součet dvou vnitřních úhlů, které u něj neleží.

a) α = 50°, γ = 75°. Jak velký je vnější úhel u vrcholu B?

β′ = α + γ = 50° + 75° = 125°
Kontrola: β = 180° − 125° = 55°, a 50° + 55° + 75° = 180° ✓

b) Vnější úhel u vrcholu A je 130°, β = 70°. Vypočítej γ.

α′ = β + γ → 130° = 70° + γ
γ = 130° − 70° = 60°
Kontrola: α = 180° − 130° = 50°, a 50° + 70° + 60° = 180° ✓

Součet vnějších úhlů je 360°

U každého vrcholu vezmi jeden vnější úhel. Tři dvojice vedlejších úhlů dají 3 · 180° = 540°. Vnitřní úhly z toho berou 180°.

α′ + β′ + γ′ = 540° − 180° = 360°

Fígl na test: Vnější úhel je vždycky větší než každý ze dvou vnitřních úhlů, které u něj neleží. A u ostrého vnitřního úhlu je vnější úhel tupý (a naopak).

4. Druhy trojúhelníků

Podle úhlů

Druh	Úhly	Příklad
ostroúhlý	všechny tři úhly ostré (menší než 90°)	50°, 60°, 70°
pravoúhlý	jeden úhel pravý (90°), dva ostré	30°, 60°, 90°
tupoúhlý	jeden úhel tupý (větší než 90°), dva ostré	20°, 40°, 120°

Rozhoduje největší úhel. Když je ostrý, jsou ostré všechny.

Podle stran

Rovnoramenný

Dvě shodné strany = ramena, třetí = základna. Úhly při základně jsou shodné. Vrchol proti základně je hlavní vrchol.

úhel při základně = (180° − úhel při hlavním vrcholu) : 2
úhel při hlavním vrcholu = 180° − 2 · úhel při základně

Rovnostranný

Všechny tři strany shodné, a tedy i všechny tři úhly shodné.

180° : 3 = 60°
Každý úhel má 60°.

Rovnostranný trojúhelník je zvláštní případ rovnoramenného – každá strana může být základnou.

a) Rovnoramenný trojúhelník má úhel při hlavním vrcholu 40°. Jak velké jsou úhly při základně?

(180° − 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°
Zkouška: 70° + 70° + 40° = 180° ✓

b) Rovnoramenný trojúhelník má úhel při základně 35°. Jak velký je úhel při hlavním vrcholu?

180° − 2 · 35° = 180° − 70° = 110° → je to tupoúhlý rovnoramenný trojúhelník.

c) Rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník – jaké má úhly?

Pravý úhel musí být u hlavního vrcholu (dva pravé úhly při základně nejdou).
(180° − 90°) : 2 = 45° → úhly 45°, 45°, 90°.

Fígl na test: Rovnoramenný trojúhelník s úhlem 50°? Pozor, nevíš, jestli je to úhel při základně, nebo při vrcholu. Vyjdou dvě možnosti: 50°, 50°, 80° nebo 50°, 65°, 65°. Čti zadání pečlivě.

5. Dá se trojúhelník sestrojit? Trojúhelníková nerovnost

Ze tří špejlí nemusí trojúhelník vždycky jít složit. Když jsou dvě krátké a jedna moc dlouhá, krátké se nahoře nesejdou.

Strany 3 cm, 4 cm a 8 cm: kružnice k(A; 3 cm) a k(B; 4 cm) se neprotnou, protože 3 + 4 = 7 < 8. Bod C neexistuje.

Součet každých dvou stran je větší než třetí strana.
a + b > c, a + c > b, b + c > a

Fígl na test: Nemusíš kontrolovat všechny tři nerovnosti. Stačí sečíst dvě kratší strany a porovnat s nejdelší. Musí vyjít ostře větší. Když se rovnají, trojúhelník „splaskne“ do úsečky.

Strany	Dvě kratší	Nejdelší	Lze sestrojit?
4 cm, 6 cm, 9 cm	4 + 6 = 10	9	ano (10 > 9)
3 cm, 4 cm, 8 cm	3 + 4 = 7	8	ne (7 < 8)
5 cm, 7 cm, 12 cm	5 + 7 = 12	12	ne (12 = 12, vyjde úsečka)
6 cm, 6 cm, 6 cm	6 + 6 = 12	6	ano (rovnostranný)

Jak dlouhá může být třetí strana?

Dvě strany měří 3 cm a 7 cm. Jakou délku může mít třetí strana?

Musí být kratší než součet: x < 7 + 3 = 10 cm
Musí být delší než rozdíl: x > 7 − 3 = 4 cm
4 cm < x < 10 cm → v celých cm: 5, 6, 7, 8 nebo 9 cm

rozdíl dvou stran < třetí strana < součet dvou stran

6. Vyzkoušej: Dá se sestrojit?

Nastav délky stran. Strana c = AB leží dole. Z bodu A je kružnice o poloměru b, z bodu B kružnice o poloměru a. Kde se protnou, je bod C. Když se neprotnou, trojúhelník nejde sestrojit.

a = |BC|: 5 cm

b = |AC|: 4 cm

c = |AB|: 6 cm

Zkus: posouvej c pořád výš a sleduj, kdy se kružnice přestanou protínat. A najdi taková a, b, c, aby vyšel pravoúhlý trojúhelník (třeba 6, 8, 10).

7. Jak se řeší konstrukční úloha

Malé písmeno = strana NAPROTI velkému: a naproti A (a = |BC|), b naproti B (b = |AC|), c naproti C (c = |AB|).
Řecké písmeno = úhel U vrcholu: α u A, β u B, γ u C.

Příklad: |AB| = 4,5 cm, |AC| = 6,2 cm, α = 130° → úhel 130° rýsuješ u vrcholu A, mezi stranami AB a AC. Ne u B!

Konstrukční úloha má na ZŠ čtyři části. Učitel chce vidět všechny.

Část	Co uděláš
1. Rozbor	Nakreslíš od ruky náčrt hotového trojúhelníku, barevně vyznačíš, co je zadané. Rozmyslíš, čím začneš a kde leží chybějící vrchol.
2. Zápis konstrukce	Po krocích, matematickými značkami, co rýsuješ (1. AB; \|AB\| = 6 cm …).
3. Konstrukce	Narýsuješ přesně tužkou, pravítkem, kružítkem a úhloměrem. Pomocné čáry nemaž.
4. Diskuse	Kolik má úloha řešení a proč (1 řešení, žádné řešení).

Značky, které budeš potřebovat

AB … úsečka AB · |AB| = 6 cm … délka úsečky
↦AX … polopřímka AX (začíná v A, jde přes X dál)
k(A; 4 cm) … kružnice se středem A a poloměrem 4 cm
∢XAB … úhel s vrcholem A (vrchol je vždy uprostřed), |∢XAB| = 60°
C ∈ k₁ ∩ k₂ … bod C leží v průniku (průsečíku) k₁ a k₂
△ABC … trojúhelník ABC

Strany a vrcholy

Strana a leží naproti vrcholu A, tedy a = |BC|. Podobně b = |AC| a c = |AB|.

Úhly

α je u vrcholu A, mezi stranami b a c. β je u B (mezi a a c), γ u C (mezi a a b).

Fígl na test: jiná písmena než ABC. Pravidlo platí pro každý trojúhelník. V △RST je r strana naproti R, tedy r = |ST|, a s = |RT|, t = |RS|. Zadání r = 5,8 cm, s = 4,2 cm, |∢RTS| = 80° je tedy sus: strany |ST| a |RT| se potkávají ve vrcholu T a svírají právě ten úhel 80°. Než začneš kreslit náčrt, napiš si vedle zadání: r = |ST|, s = |RT|.
A nikdy nemíchej délky a úhly: |ST| = 5,8 cm je délka, |∢RTS| = 80° je úhel. Zápis „|BC| = 50°“ je chyba.

Kterou větu použít? Podle toho, co je zadané:
sss = 3 strany · sus = 2 strany a úhel, který svírají · usu = 1 strana a 2 úhly, které k ní přiléhají

Tyto tři věty zároveň říkají, kdy jsou dva trojúhelníky shodné: když se shodují ve třech stranách (sss), ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném (sus), nebo ve straně a dvou úhlech k ní přilehlých (usu). Proto jsou trojúhelníky sestrojené z těchto údajů vždy stejné.

8. Konstrukce podle věty sss

Sestroj △ABC: a = 5 cm, b = 4 cm, c = 6 cm.

Rozbor

Začnu stranou AB (c = 6 cm). Bod C je od A vzdálený 4 cm → leží na kružnici k₁(A; 4 cm). Od B je vzdálený 5 cm → leží na kružnici k₂(B; 5 cm). C je průsečík obou kružnic.

Zápis konstrukce

1. AB; |AB| = 6 cm
2. k₁; k₁(A; 4 cm)
3. k₂; k₂(B; 5 cm)
4. C; C ∈ k₁ ∩ k₂
5. △ABC

Konstrukce

Stačí narýsovat jen oblouky kružnic v místě, kde se protnou.

Diskuse

Ověřím trojúhelníkovou nerovnost: 4 + 5 = 9 > 6 ✓. Kružnice se protnou ve dvou bodech C a C′ – jeden nad AB, druhý pod AB. Oba trojúhelníky jsou shodné (překlopené podle AB). Úloha má v jedné polorovině s hraniční přímkou AB jedno řešení.

Fígl na test: Pozor, který poloměr patří ke kterému středu. Z bodu A měříš stranu b = |AC|, z bodu B stranu a = |BC|. Prohozením vyjde jiný (zrcadlový) trojúhelník.

9. Konstrukce podle věty sus

Sestroj △ABC: c = 6 cm, b = 4 cm, α = 60°.

Úhel α leží u vrcholu A mezi stranami b a c – je jimi sevřený. Proto sus.

Rozbor

Začnu stranou AB. U vrcholu A naneseme úhel 60° – bod C leží na rameni úhlu, polopřímce AX. Zároveň je od A vzdálený 4 cm → leží na kružnici k(A; 4 cm).

Zápis konstrukce

1. AB; |AB| = 6 cm
2. ∢XAB; |∢XAB| = 60°
3. k; k(A; 4 cm)
4. C; C ∈ ↦AX ∩ k
5. △ABC

Konstrukce

Diskuse

Polopřímka AX protne kružnici k právě v jednom bodě. Úloha má v jedné polorovině s hraniční přímkou AB jedno řešení. (Úhel 60° je menší než 180°, takže úloha řešení má vždy.)

Fígl na test: Úhel 60° narýsuješ i bez úhloměru: kružnice k(A; 6 cm) a k(B; 6 cm) se protnou v bodě X a △ABX je rovnostranný, takže |∢XAB| = 60°.

10. Konstrukce podle věty usu

Sestroj △ABC: c = 6 cm, α = 45°, β = 60°.

Oba úhly přiléhají ke straně c = AB (leží v jejích krajních bodech). Proto usu.

Rozbor

Začnu stranou AB. U A naneseme úhel 45°, bod C leží na polopřímce AX. U B naneseme úhel 60°, bod C leží na polopřímce BY. C je průsečík obou polopřímek.

Zápis konstrukce

1. AB; |AB| = 6 cm
2. ∢XAB; |∢XAB| = 45°
3. ∢YBA; |∢YBA| = 60°
4. C; C ∈ ↦AX ∩ ↦BY
5. △ABC

Konstrukce

Úhel γ nerýsuješ, vyjde sám: γ = 180° − (45° + 60°) = 75°. Můžeš ho úhloměrem přeměřit jako kontrolu.

Diskuse

α + β = 45° + 60° = 105° < 180° → polopřímky se protnou. Úloha má v jedné polorovině s hraniční přímkou AB jedno řešení.

Kdyby bylo α + β ≥ 180° (třeba α = 100°, β = 85°), polopřímky by se neprotnuly a úloha by neměla řešení.

Úhel, který nepřiléhá? Dopočítej ho!

Sestroj △ABC: c = 5 cm, α = 50°, γ = 70°.

γ k straně c nepřiléhá. Dopočítám β = 180° − (50° + 70°) = 60°.
Teď mám c, α, β → konstrukce podle usu (jako výše).

Fígl na test: Strana nemusí být vždy c. Je-li zadáno a = 5 cm, β = 40°, γ = 70°, začneš stranou BC a úhly naneseš u B a u C. Zápis pak začíná „1. BC; |BC| = 5 cm“.

11. Typické chyby

Minuty počítané jako desetiny: 180° − 124°15′ = 55°85′
Správně: 180° = 179°60′ → 179°60′ − 124°15′ = 55°45′

Rovnoramenný, úhel při hlavním vrcholu 40°: úhly při základně 40° a 100°
Při základně jsou dva shodné úhly: (180° − 40°) : 2 = 70°

Vnější úhel u B: β′ = α + β
Sčítáš úhly, které u B neleží: β′ = α + γ = 180° − β

Strany 5, 7, 12: 5 + 7 = 12, takže to jde
Musí být ostře větší: 12 není větší než 12 → nelze sestrojit

sss, a = 5 cm, b = 4 cm: k₁(A; 5 cm)
Z A se měří vzdálenost k C, to je b: k₁(A; 4 cm), k₂(B; 5 cm)

Zápis úhlu u vrcholu A: ∢AXB
Vrchol úhlu píšeš doprostřed: ∢XAB

12. Otázky a odpovědi

Zkus si nejdřív odpovědět sám. Pak klikni na otázku a podívej se na odpověď.

Kolik je součet vnitřních úhlů trojúhelníku a proč?

180°.

Vedeš vrcholem C rovnoběžku se stranou AB. U C pak leží vedle sebe úhly α, γ, β (α a β jako střídavé úhly) a tvoří přímý úhel 180°.

V △ABC je α = 63° a β = 49°. Vypočítej γ.

γ = 180° − (63° + 49°) = 180° − 112° = 68°

Může mít trojúhelník dva pravé úhly? A dva tupé?

Ne a ne.

Dva pravé úhly dají už 180°, na třetí nezbude nic. Dva tupé dají víc než 180°. Trojúhelník má nejvýš jeden pravý nebo tupý úhel.

Rovnoramenný trojúhelník má úhel při základně 72°. Jak velký je úhel při hlavním vrcholu?

180° − 2 · 72° = 180° − 144° = 36°

Jak velké jsou úhly rovnostranného trojúhelníku?

Všechny 60°.

Všechny tři úhly jsou shodné: 180° : 3 = 60°. Je to tedy ostroúhlý trojúhelník.

V △ABC je α = 35° a β = 80°. Jak velký je vnější úhel u vrcholu C?

γ′ = α + β = 35° + 80° = 115°

Kontrola: γ = 180° − 115° = 65°, a 35° + 80° + 65° = 180°.

Kolik je součet vnějších úhlů trojúhelníku (u každého vrcholu jeden)?

360°

3 · 180° (tři dvojice vedlejších úhlů) − 180° (vnitřní úhly) = 360°.

Lze sestrojit trojúhelník se stranami 4 cm, 5 cm a 10 cm?

Ne. 4 + 5 = 9 < 10

Dvě kratší strany dají dohromady méně než nejdelší – kružnice se neprotnou.

Dvě strany trojúhelníku měří 5 cm a 8 cm. Kolik centimetrů může mít třetí strana, když je to celé číslo?

4, 5, 6, …, 12 cm (9 možností)

8 − 5 = 3 < x < 8 + 5 = 13.

Zadání: a = 6 cm, c = 7 cm, β = 50°. Podle které věty budeš rýsovat a čím začneš?

Podle sus.

Úhel β leží u vrcholu B mezi stranami a = BC a c = AB, je jimi sevřený. Začneš třeba AB; |AB| = 7 cm, pak ∢ABX = 50° a kružnice k(B; 6 cm).

Proč u konstrukce sss vyjdou dva body C?

Dvě kružnice se protnou ve dvou bodech – nad AB a pod AB.

Oba trojúhelníky jsou shodné, jen překlopené. Proto se píše: v jedné polorovině s hraniční přímkou AB má úloha jedno řešení.

Zadání: c = 6 cm, α = 110°, β = 75°. Kolik řešení má úloha?

Žádné.

α + β = 185° > 180°. Ramena úhlů se nad AB neprotnou, na γ by nezbyl žádný úhel.

13. Dopiš do sešitu

Tohle si opiš do sešitu. Stačí to na celou kapitolu.

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku: α + β + γ = 180°
(důkaz: rovnoběžka s AB vedená vrcholem C, střídavé úhly)
Chybějící úhel: γ = 180° − (α + β). Pozor: 1° = 60′, 180° = 179°60′.

Vnější úhel = 180° − vnitřní úhel = součet dvou vnitřních úhlů, které u něj neleží (β′ = α + γ).
Součet vnějších úhlů: α′ + β′ + γ′ = 360°.

Podle úhlů: ostroúhlý (všechny ostré) · pravoúhlý (jeden 90°) · tupoúhlý (jeden tupý).
Podle stran: různostranný · rovnoramenný (ramena shodná, úhly při základně shodné) · rovnostranný (všechny úhly 60°).

Trojúhelníková nerovnost: a + b > c, a + c > b, b + c > a.
Stačí: dvě kratší strany dohromady > nejdelší.

Konstrukce: rozbor (náčrt) – zápis – konstrukce – diskuse.
sss: AB, k₁(A; b), k₂(B; a), C ∈ k₁ ∩ k₂
sus: AB, ∢XAB = α, k(A; b), C ∈ ↦AX ∩ k
usu: AB, ∢XAB = α, ∢YBA = β, C ∈ ↦AX ∩ ↦BY (jen když α + β < 180°)

14. Test

Klikni na odpověď. Hned uvidíš, jestli je správně, a proč. Na počítání si vezmi papír. Na konci zkus test celý znovu – dokud nebudeš mít všechno.

0 / 0

15. Tahák na jednu stranu

Vnitřní úhly

α + β + γ = 180° (rovnoběžka vrcholem C, střídavé úhly).
Chybějící úhel: γ = 180° − (α + β). Zkouška: součet = 180°.
Minuty: 1° = 60′, 180° = 179°60′. 52°30′ + 71°45′ = 124°15′ → γ = 55°45′.
Nejvýš jeden pravý nebo tupý úhel. Proti největší straně největší úhel.

Vnější úhel

β′ = 180° − β = α + γ (součet dvou nesousedních vnitřních).
α′ + β′ + γ′ = 360°.

Druhy

Podle úhlů: ostroúhlý · pravoúhlý (90°) · tupoúhlý (> 90°).
Podle stran: různostranný · rovnoramenný · rovnostranný.
Rovnoramenný: úhel při základně = (180° − vrchol) : 2; vrchol = 180° − 2 · základna.
Rovnostranný: 60°, 60°, 60°. Pravoúhlý rovnoramenný: 45°, 45°, 90°.

Dá se sestrojit?

Dvě kratší strany dohromady musí být větší než nejdelší (3, 4, 8 ne; 5, 7, 12 ne; 4, 6, 9 ano).
Třetí strana: rozdíl < x < součet (3 a 7 → 4 < x < 10).

Konstrukce

Rozbor (náčrt) → zápis → konstrukce → diskuse (počet řešení).
a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|; α u A mezi b a c.
sss: 1. AB 2. k₁(A; b) 3. k₂(B; a) 4. C ∈ k₁ ∩ k₂ 5. △ABC
sus: 1. AB 2. ∢XAB = α 3. k(A; b) 4. C ∈ ↦AX ∩ k 5. △ABC
usu: 1. AB 2. ∢XAB = α 3. ∢YBA = β 4. C ∈ ↦AX ∩ ↦BY 5. △ABC; jen když α + β < 180°.
Úhel nepřiléhá ke straně? Dopočítej třetí úhel a použij usu.
Diskuse: v jedné polorovině s hraniční přímkou AB jedno řešení.