Matematika · Cvičení z matematiky 9. 10. · Slovní úlohy na dělitelnost
D, nebo n?
Autobusy, kytice, ozubená kola, čtverce z papíru. Všechny tyhle úlohy spočítáš přes rozklad na prvočinitele. Nejdřív si rychle zopakuješ dělitelnost, pak se naučíš poznat, jestli hledáš největší společný dělitel, nebo nejmenší společný násobek.
Potřebuješ zopakovat počítání se zápornými čísly? To je na stránce Celá čísla – opakování.
1. Pravidla, která musíš umět
Postup: sečti známé cifry → najdi násobky 3 (nebo 9), které jsou o 0 až 9 větší → rozdíl je cifra za *.
| Úloha | Součet → potřebuji | * |
|---|---|---|
| 41983* dělitelné 9 | 4 + 1 + 9 + 8 + 3 = 25 → 27 (+ 2) 36 by chtělo + 11 – to není cifra | jen 2 |
| 1260* dělitelné 9 | 1 + 2 + 6 + 0 = 9 → 9 (+ 0) nebo 18 (+ 9) | 0, 9 |
| 41983* dělitelné 3 | součet 25 → 27, 30, 33 | 2, 5, 8 |
U 9 vyjde nejvýš 1 nebo 2 cifry (0 a 9 dohromady), u 3 až 4 cifry (krok po 3). Zkontroluj: 419 832 : 9 = 46 648.
72 | 2
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1
144 = 2⁴ · 3²
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1
48 = 2⁴ · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2² · 3² · 16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁴
Každý řádek zkontroluj zpátky: 2 · 72 = 144 ✓. 144 = 2 · 117 je chyba – 2 · 117 = 234.
| Úloha | Rozklady | Výsledek |
|---|---|---|
| D(144; 48) | 144 = 2⁴ · 3² 48 = 2⁴ · 3 | 2⁴ · 3 = 48 |
| n(36; 16) | 36 = 2² · 3² 16 = 2⁴ | 2⁴ · 3² = 144 |
U n nevadí, že 3 je jen v jednom čísle – bere se taky. n vždycky existuje (aspoň součin obou čísel je společný násobek), „nejde“ je vždy špatně. D taky vždy existuje – nejhůř D = 1.
20 = 2² · 5, 32 = 2⁵ → n(20; 32) = 2⁵ · 5 = 160
Společné násobky: 160, 320, 480, … (napsat jen 160 je málo)
2. Násobek a dělitel
Platí 4 · 6 = 24. Z jednoho příkladu tak dostaneš dvě věty:
Násobek
24 je násobkem čísla 6 (i čísla 4).
Násobky 6: 6, 12, 18, 24, 30, … – je jich nekonečně mnoho. Najdeš je v malé násobilce a dál.
Dělitel
6 je dělitelem čísla 24 – 24 : 6 = 4 beze zbytku.
Dělitelé 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 – je jich konečně mnoho, největší je samo číslo.
Dělitele hledej po dvojicích. U 36: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6. Tím máš všechny: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
3. Znaky dělitelnosti
Nemusíš dělit – stačí se podívat na číslice. Tahle tabulka se v testech hodí pořád:
| Dělitelné | Když… | Příklad |
|---|---|---|
| 2 | poslední číslice je 0, 2, 4, 6, 8 (sudé číslo) | 3 578 ano |
| 3 | ciferný součet je dělitelný 3 | 2 514: 2 + 5 + 1 + 4 = 12 → ano |
| 4 | poslední dvojčíslí je dělitelné 4 | 7 316: 16 : 4 = 4 → ano |
| 5 | poslední číslice je 0 nebo 5 | 845 ano |
| 6 | je dělitelné 2 a zároveň 3 | 522: sudé, 5 + 2 + 2 = 9 → ano |
| 8 | poslední trojčíslí je dělitelné 8 | 5 120: 120 : 8 = 15 → ano |
| 9 | ciferný součet je dělitelný 9 | 4 572: 4 + 5 + 7 + 2 = 18 → ano |
| 10 | poslední číslice je 0 | 930 ano |
| 25 | poslední dvojčíslí je 00, 25, 50, 75 | 1 375 ano |
| 100 | poslední dvě číslice jsou 00 | 4 700 ano |
Je číslo 4 572 dělitelné 2, 3, 4, 6, 8, 9?
2: končí 2 → ano
3 a 9: 4 + 5 + 7 + 2 = 18 → ano, ano
4: 72 : 4 = 18 → ano
6: dělitelné 2 i 3 → ano
8: 572 : 8 = 71,5 → ne
4. Prvočísla a rozklad na prvočinitele
Prvočíslo
Má právě dva dělitele: 1 a samo sebe.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …
Číslo složené
Má víc než dva dělitele.
4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 21, 51 (= 3 · 17), 91 (= 7 · 13), …
Číslo 1 není prvočíslo ani číslo složené – má jen jednoho dělitele. Číslo 2 je jediné sudé prvočíslo.
Rozklad na prvočinitele
Každé složené číslo jde napsat jako součin prvočísel. Tomu se říká rozklad na prvočinitele. Máš dva způsoby a výsledek je vždycky stejný.
Strom – rozkládej, dokud nejsou všude prvočísla (zakroužkovaná):
Dělení pod sebou – vpravo píšeš prvočísla, kterými dělíš (od nejmenšího):
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1
5. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek
D(a, b)
Největší společný dělitel – největší číslo, kterým jdou obě čísla vydělit beze zbytku.
D(12, 18) = 6. Je menší nebo stejný než menší z čísel.
n(a, b)
Nejmenší společný násobek – nejmenší číslo (kromě nuly), které je násobkem obou čísel.
n(12, 18) = 36. Je větší nebo stejný než větší z čísel.
Postup přes rozklad
Urči D(48, 36) a n(48, 36).
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
Společné: 2 · 2 · 3
D(48, 36) = 2 · 2 · 3 = 12
n(48, 36) = společné · zbytek z 48 · zbytek z 36 = 12 · (2 · 2) · 3 = 144
n = větší rozklad + to, co mu chybí z druhého čísla.
Totéž v mocninách: D bere nejmenší mocninu společných prvočísel, n největší mocninu všech prvočísel.
48 = 2⁴ · 3, 36 = 2² · 3² → D = 2² · 3 = 12, n = 2⁴ · 3² = 144
Soudělná a nesoudělná čísla
Soudělná
Mají společného dělitele většího než 1: D(a, b) > 1.
14 a 21: D = 7.
Nesoudělná
Jediný společný dělitel je 1: D(a, b) = 1.
15 a 28: 15 = 3 · 5, 28 = 2 · 2 · 7 → D = 1, n = 15 · 28 = 420.
6. Jak poznat, jestli hledám D, nebo n
Ve slovní úloze ti nikdo neřekne „spočítej D“. Musíš to poznat ze zadání. Zeptej se: bude výsledek menší, nebo větší než čísla v zadání?
D – dělím na stejné části
Výsledek je menší než čísla v zadání (nebo stejný).
- co největší čtverce, kousky, skupiny
- co nejvíce stejných balíčků, kytic
- rozdělit / rozstříhat / rozřezat beze zbytku
- čtverce z obdélníku, dlaždice na podlahu
n – čekám, až se to sejde
Výsledek je větší než čísla v zadání (nebo stejný).
- znovu současně, opět spolu
- nejdříve za kolik minut / dní
- nejmenší počet, aby šel rozdělit po 4 i po 6
- autobusy odjíždějí, ozubená kola, kroky, majáky
7. Řešené slovní úlohy krok za krokem
Postup je pořád stejný: poznej D, nebo n – rozlož – spočítej – odpověz celou větou. A nakonec se zeptej, jestli se ptají právě na D (n), nebo na něco, co z nich teprve spočítáš.
Úlohy na D
a) Čtvrtku 48 cm × 36 cm chceš rozstříhat beze zbytku na co největší stejné čtverce. Jakou stranu budou mít čtverce a kolik jich bude?
„co největší čtverce“, „beze zbytku“ → D
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 36 = 2 · 2 · 3 · 3
D(48, 36) = 2 · 2 · 3 = 12
Počet: 48 : 12 = 4 sloupce, 36 : 12 = 3 řady → 4 · 3 = 12 čtverců
Odpověď: Čtverce budou mít stranu 12 cm a bude jich 12.
b) Máš 24 jablek a 36 hrušek. Chceš z nich udělat co nejvíce stejných balíčků a nic nesmí zbýt. Kolik balíčků bude a co bude v každém?
„co nejvíce stejných balíčků“, „nic nezbude“ → D
24 = 2 · 2 · 2 · 3, 36 = 2 · 2 · 3 · 3
D(24, 36) = 2 · 2 · 3 = 12 balíčků
Jablka: 24 : 12 = 2, hrušky: 36 : 12 = 3
Odpověď: Bude 12 balíčků, v každém 2 jablka a 3 hrušky.
c) Paní učitelka rozdělila co nejvíce dětem rovným dílem 50 bonbonů a 38 lízátek. Zbyly jí 2 bonbony a 2 lízátka. Kolik dětí dostalo sladkosti?
Nejdřív odečti, co zbylo: 50 − 2 = 48, 38 − 2 = 36
„co nejvíce dětem rovným dílem“ → D
D(48, 36) = 12
Kontrola: zbytek 2 je menší než 12 – víc dětí už by nedostalo nic navíc. Každé dítě: 48 : 12 = 4 bonbony, 36 : 12 = 3 lízátka.
Odpověď: Sladkosti dostalo 12 dětí.
Úlohy na n
d) Z nádraží odjíždí autobus linky A každých 12 minut a linky B každých 18 minut. V 8:00 odjely oba současně. Kdy nejdříve odjedou zase současně?
„zase současně“, „nejdříve“ → n
12 = 2 · 2 · 3, 18 = 2 · 3 · 3
n(12, 18) = 2 · 2 · 3 · 3 = 36 min
8:00 + 36 min = 8:36
Odpověď: Oba autobusy odjedou znovu současně v 8:36 (pak v 9:12 a tak dál po 36 minutách).
e) Dvě ozubená kola do sebe zapadají. Malé má 24 zubů, velké 40 zubů. Po kolika otočkách každého kola se znovu setkají tytéž dva zuby?
„znovu se setkají“ → n počtu zubů
24 = 2 · 2 · 2 · 3, 40 = 2 · 2 · 2 · 5
n(24, 40) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120 zubů
Malé kolo: 120 : 24 = 5 otáček, velké kolo: 120 : 40 = 3 otáčky
Odpověď: Malé kolo se otočí 5krát, velké 3krát. Pozor – n = 120 není výsledek, ptají se na otáčky!
f) Táta má krok 80 cm, syn 60 cm. Vykročí současně z jednoho místa. Po kolika metrech zase šlápnou na stejné místo? Kolik kroků udělá každý?
„zase na stejné místo“ → n
80 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5, 60 = 2 · 2 · 3 · 5
n(80, 60) = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 240 cm = 2,4 m
Táta: 240 : 80 = 3 kroky, syn: 240 : 60 = 4 kroky
Odpověď: Po 2,4 m. Táta udělá 3 kroky, syn 4 kroky.
Úlohy se zbytkem
g) Když babička rozdělí ořechy po 4, po 6 i po 9, vždycky jí zbude 1 ořech. Kolik nejméně ořechů má (víc než 1)? Kolik jich má, když jich je méně než 100?
„rozdělit po 4, po 6 i po 9“ → počet bez zbytku je společný násobek → n
4 = 2 · 2, 6 = 2 · 3, 9 = 3 · 3
n(4, 6, 9) = 2 · 2 · 3 · 3 = 36
Zbude 1 → přičti: 36 + 1 = 37
Další možnost: 2 · 36 + 1 = 73 (3 · 36 + 1 = 109 už je víc než 100)
Odpověď: Nejméně má 37 ořechů. Pod 100 to může být 37, nebo 73.
h) Když děti dělíme do skupin po 4, po 5 i po 6, vždycky do celé skupiny chybí jedno dítě. Kolik nejméně dětí je?
„chybí 1“ = kdyby přišlo ještě jedno dítě, šlo by to beze zbytku → n − 1
n(4, 5, 6) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60
60 − 1 = 59
Kontrola: 59 : 4 = 14 zb. 3, 59 : 5 = 11 zb. 4, 59 : 6 = 9 zb. 5 – vždy chybí 1.
Odpověď: Dětí je nejméně 59.
8. Vyzkoušej si: D, nebo n?
Poznej typ úlohy
úloha 1
Spočítej D a n z rozkladu
Napiš dvě přirozená čísla (2 až 10 000). Uvidíš jejich rozklad na prvočinitele. Žlutě jsou společní činitelé – z nich je D. Pro n přidáš i ty ostatní.
Čísla z řešených úloh:
Zkus 15 a 28 – nemají žádného společného činitele, takže D = 1 a n je jejich součin.
9. Typické chyby
Autobusy po 12 a 18 min – kdy znovu spolu?
Špatně: D(12, 18) = 6 → za 6 min
Správně: n(12, 18) = 36 → za 36 min
Za 6 minut neodjede ani jeden autobus. Čekáš, až se to sejde → n.
n(4, 6) = ?
Špatně: 4 · 6 = 24
Správně: n(4, 6) = 12
Součin je společný násobek, ale nejmenší je jen u nesoudělných čísel. 4 a 6 mají společnou 2.
Rozklad 36
Špatně: 36 = 4 · 9
Správně: 36 = 2 · 2 · 3 · 3
4 a 9 nejsou prvočísla. Rozkládej až na prvočísla.
Po 4, 6 i 9 zbude 1 – kolik nejméně?
Špatně: 36
Správně: 36 + 1 = 37
36 jde rozdělit beze zbytku. Zbytek musíš přičíst.
Ozubená kola 24 a 40 zubů – kolikrát se otočí velké kolo?
Špatně: 120
Správně: 120 : 40 = 3 otáčky
Dočti otázku do konce. D nebo n je často jen mezivýsledek.
10. Otázky a odpovědi
Zkus si nejdřív odpovědět sám. Pak klikni na otázku a podívej se na odpověď.
Jaký je rozdíl mezi násobkem a dělitelem?
Násobek dostaneš násobením (je větší nebo stejný), dělitel dělí číslo beze zbytku (je menší nebo stejný).
35 je násobkem 7, 7 je dělitelem 35.
Je číslo 1 prvočíslo?
Ne. Není prvočíslo ani číslo složené.
Prvočíslo má právě dva dělitele, číslo 1 má jen jednoho.
Je číslo 7 316 dělitelné 4? A 8?
Dělitelné 4 ano, 8 ne.
Pro 4: poslední dvojčíslí 16 : 4 = 4. Pro 8: poslední trojčíslí 316 : 8 = 39,5.
Rozlož číslo 120 na prvočinitele.
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 2³ · 3 · 5
120 : 2 = 60, 60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1.
Urči D(60, 84) a n(60, 84).
D = 12, n = 420
60 = 2 · 2 · 3 · 5, 84 = 2 · 2 · 3 · 7. Společné 2 · 2 · 3 = 12. n = 12 · 5 · 7 = 420.
Jsou čísla 35 a 48 soudělná?
Ne, jsou nesoudělná. D(35, 48) = 1.
35 = 5 · 7, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 – žádný společný činitel. Proto n = 35 · 48 = 1 680.
Proč n(4, 6) není 24?
Protože už 12 je násobkem 4 i 6. n(4, 6) = 12.
4 = 2 · 2, 6 = 2 · 3. Společnou dvojku započítáš jen jednou: 2 · 2 · 3 = 12.
Kuba má 42 modrých a 56 červených korálků. Chce z nich udělat co nejvíc stejných náramků a všechny korálky použít. Kolik náramků udělá a jaké budou?
14 náramků, každý 3 modré a 4 červené korálky.
Co nejvíc stejných → D. 42 = 2 · 3 · 7, 56 = 2 · 2 · 2 · 7, D = 2 · 7 = 14. 42 : 14 = 3, 56 : 14 = 4.
Petr chodí plavat každý 3. den, Jana každý 4. den. Dnes byli spolu. Za kolik dní se zase potkají?
Za 12 dní.
Zase spolu → n. 3 a 4 jsou nesoudělná, n = 3 · 4 = 12.
Ve skladu je 50 až 80 vajec. Když je dávají po 6 i po 10, zbydou vždy 3. Kolik je vajec?
63 vajec.
n(6, 10) = 30. Počty se zbytkem 3: 33, 63, 93, … Mezi 50 a 80 je jen 63.
Jak si zkontroluješ, že máš D a n správně?
D musí dělit obě čísla, n musí jít vydělit oběma čísly. A D · n = a · b.
D(12, 18) = 6, n = 36: 6 · 36 = 216 = 12 · 18.
11. Dopiš do sešitu
Tohle si opiš do sešitu. Stačí to na celou kapitolu.
Prvočíslo má právě 2 dělitele (1 a sebe): 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Složené číslo má víc dělitelů. 1 není ani jedno.
Znaky dělitelnosti: 2 – sudá poslední číslice · 3 (9) – ciferný součet dělitelný 3 (9) · 4 – poslední dvojčíslí · 8 – poslední trojčíslí · 5 – končí 0, 5 · 6 – dělitelné 2 i 3 · 10 – končí 0 · 25 – končí 00, 25, 50, 75 · 100 – končí 00.
Rozklad na prvočinitele: 60 = 2 · 2 · 3 · 5 (strom nebo dělení pod sebou).
D(a, b) = součin společných prvočinitelů. n(a, b) = větší rozklad + co chybí z druhého.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 36 = 2 · 2 · 3 · 3 → D = 12, n = 144.
Nesoudělná čísla: D = 1, n = a · b. Vždy D · n = a · b.
Slovní úlohy:
D – co největší, co nejvíce stejných, rozdělit beze zbytku, čtverce z obdélníku.
n – znovu současně, nejdříve, nejmenší počet, autobusy, ozubená kola, kroky.
Zbude vždy z → n + z. Chybí 1 → n − 1. U D zbytek nejdřív odečti.
12. Test
Klikni na odpověď. Hned uvidíš, jestli je správně, a proč. Na počítání si vezmi papír. Na konci zkus test celý znovu – dokud nebudeš mít všechno.
13. Tahák na jednu stranu
Pojmy
- 4 · 6 = 24: 24 je násobek 6, 6 je dělitel 24.
- Prvočíslo – právě 2 dělitelé: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … · 1 není prvočíslo.
- Soudělná: D > 1 · nesoudělná: D = 1 (15 a 28).
Znaky dělitelnosti
- 2 sudé · 5 končí 0/5 · 10 končí 0 · 100 končí 00 · 25 končí 00/25/50/75
- 3 a 9 ciferný součet · 4 poslední dvojčíslí · 8 poslední trojčíslí · 6 = 2 i 3
D a n z rozkladu
- 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 36 = 2 · 2 · 3 · 3
- D = společné: 2 · 2 · 3 = 12 · n = 12 · 2 · 2 · 3 = 144
- Kontrola: D · n = a · b (12 · 144 = 1 728 = 48 · 36). Nesoudělná: n = a · b.
D, nebo n?
- D (výsledek menší): co největší, co nejvíce stejných, beze zbytku, čtverce z obdélníku, kytice, balíčky.
- n (výsledek větší): znovu současně, nejdříve, nejmenší počet, autobusy, ozubená kola, kroky.
- Zbude z → n + z (po 4, 6, 9 zbude 1 → 37) · chybí 1 → n − 1 (po 4, 5, 6 → 59) · u D zbytek odečti.
- Dočti otázku: často chtějí počet kusů, otáček nebo čas – ten spočítáš z D nebo n.