Matematika · osová a středová souměrnost

Zrcadlo a otočka

Osová souměrnost je jako zrcadlo – útvar se překlopí přes přímku. Středová souměrnost je otočka o 180° kolem bodu. Naučíš se najít obraz bodu, trojúhelníku i kružnice, poznat souměrné útvary a vyřešit celou konstrukční úlohu tak, jak ji chce učitel.

Konstrukce trojúhelníku podle sss, sus a usu si zopakuj v kapitole Úhly a konstrukce trojúhelníku. Otočení a posunutí najdeš v kapitole Otočení a posunutí.

1. Osová souměrnost

Osovou souměrnost určuje přímka o – osa souměrnosti. Každý bod se „překlopí“ přes osu na druhou stranu. Představ si, že papír přeložíš podél osy a bod propíchneš: dírka na druhé půlce je jeho obraz.

Obraz A′ bodu A: úsečka AA′ je kolmá k ose o a osa ji půlí.
Bod A i jeho obraz A′ jsou od osy stejně daleko, každý na jiné straně.

Jak najdeš obraz bodu A

1. Bodem A veď kolmici k ose o (trojúhelník s ryskou).
2. Průsečík kolmice s osou označ P (pata kolmice).
3. Kružítkem odměř |AP| a přenes ho z bodu P na druhou stranu osy: k(P; |PA|).
4. Kde kružnice protne kolmici, je A′.

Zapisuješ to takto: O(o): A → A′ – čti „v osové souměrnosti s osou o se bod A zobrazí na bod A′“.

Samodružné body

Bod, který leží na ose, se zobrazí sám na sebe: B′ = B. Takový bod se jmenuje samodružný. V osové souměrnosti jsou samodružné všechny body osy.

Shodné zobrazení

Obraz je stejně velký jako vzor. Délky úseček i velikosti úhlů zůstanou. Proto je obraz trojúhelníku shodný trojúhelník.

Obraz úsečky, trojúhelníku a kružnice

Úsečka AB → najdeš obrazy krajních bodů A′, B′ a spojíš je. |A′B′| = |AB|.
Trojúhelník ABC → najdeš obrazy všech tří vrcholů a spojíš je v △A′B′C′.
Kružnice k(O; r) → stačí najít obraz středu O′. Obraz je kružnice k′(O′; r) se stejným poloměrem.

Fígl na test: orientace se obrátí. Když čteš vrcholy A → B → C proti směru hodinových ručiček, u obrazu půjdou A′ → B′ → C′ po směru. Jako v zrcadle: zvedneš pravou ruku a obraz zvedne levou. Podle toho poznáš, jestli máš obraz správně popsaný.

2. Osově souměrné útvary

Útvar je osově souměrný, když existuje přímka, podle které se zobrazí sám na sebe. Přeložíš ho podél ní a obě půlky přesně padnou na sebe. Ta přímka je jeho osa souměrnosti.

Útvar	Počet os	Které to jsou
úsečka	2	osa úsečky (kolmá v jejím středu) a přímka, na které leží
rovnoramenný △ (ne rovnostranný)	1	kolmice z hlavního vrcholu na základnu
rovnostranný △	3	z každého vrcholu na střed protější strany
obdélník (ne čtverec)	2	spojnice středů protějších stran – úhlopříčky ne!
kosočtverec (ne čtverec)	2	obě úhlopříčky
čtverec	4	2 úhlopříčky + 2 spojnice středů protějších stran
kruh, kružnice	nekonečně mnoho	každá přímka, která prochází středem
obecný rovnoběžník, různostranný △	0	není osově souměrný

Písmena

V obvyklém tiskacím písmu:

Svislá osa

A H I M O T U V W X Y

Vodorovná osa

B C D E H I K O X

H, I, O, X mají obě osy. Písmena F, G, J, L, N, P, Q, R, S, Z nemají žádnou osu.

Fígl na test: Úhlopříčka obdélníku není osa souměrnosti. Přelož obdélníkový papír podél úhlopříčky – rohy nepadnou na sebe. U čtverce to vyjde, proto má čtverec 4 osy a obdélník jen 2.

3. Středová souměrnost

Středovou souměrnost určuje bod S – střed souměrnosti. Každý bod se přenese „skrz“ střed na druhou stranu ve stejné vzdálenosti. Je to totéž jako otočení o 180° kolem bodu S.

Obraz A′ bodu A: bod S je středem úsečky AA′.
A, S, A′ leží na jedné přímce a |AS| = |SA′|.

Jak najdeš obraz bodu A

1. Narýsuj přímku AS (pravítkem přes oba body, prodluž ji za S).
2. Kružítkem odměř |SA| a narýsuj kružnici k(S; |SA|).
3. Kružnice protne přímku za bodem S – to je A′.

Zápis: S(S): A → A′ – čti „ve středové souměrnosti se středem S se bod A zobrazí na bod A′“.

Samodružný bod

Jediný samodružný bod je střed S: S′ = S. Žádný jiný bod sám na sebe nepadne.

Obraz přímky

Přímka p, která neprochází S, se zobrazí na rovnoběžku p′ ∥ p. Přímka, která prochází S, se zobrazí sama na sebe.

Úsečka AB → A′B′, |A′B′| = |AB| a A′B′ ∥ AB.
Trojúhelník ABC → obrazy tří vrcholů spojíš v △A′B′C′. Každá jeho strana je rovnoběžná s odpovídající stranou △ABC.
Kružnice k(O; r) → k′(O′; r), stačí zobrazit střed O.

Fígl na test: orientace zůstane. Středová souměrnost je otočení o 180°, nic se nepřeklápí. Když jde ABC proti směru hodinových ručiček, jde tak i A′B′C′. A kontrola navíc: strany obrazu musí být rovnoběžné se stranami vzoru.

4. Středově souměrné útvary

Útvar je středově souměrný, když ho středová souměrnost s nějakým středem S zobrazí sám na sebe. Otočíš ho o 180° kolem S a vypadá stejně.

Útvar	Středově souměrný?	Střed souměrnosti
úsečka	ano	střed úsečky
rovnoběžník, obdélník, kosočtverec, čtverec	ano	průsečík úhlopříček
kruh, kružnice	ano	střed kruhu
jakýkoli trojúhelník (i rovnostranný)	ne	–

Písmena (tiskací): středově souměrná jsou H I N O S X Z. Otoč papír vzhůru nohama a přečteš je stejně.

Fígl na test: Rovnostranný trojúhelník má 3 osy, ale středově souměrný není. Když ho otočíš o 180°, špička míří dolů. A naopak obecný rovnoběžník je středově souměrný, ale osu nemá žádnou.

5. Osová × středová – srovnání

	Osová souměrnost	Středová souměrnost
Je daná	přímkou – osou o	bodem – středem S
Zápis	O(o): A → A′	S(S): A → A′
Obraz bodu	kolmice k ose, stejná vzdálenost na druhou stranu osy	přímka AS, stejná vzdálenost za bod S
Co platí	AA′ ⊥ o, \|AP\| = \|PA′\|	S je střed AA′, \|AS\| = \|SA′\|
Samodružné body	všechny body osy	jen střed S
Obraz přímky	přímka (rovnoběžná s původní jen když p ∥ o)	vždy rovnoběžka (nebo ta samá přímka, když prochází S)
Orientace	obrátí se (zrcadlo)	zůstane (otočení o 180°)
Velikost	shodné zobrazení – délky i úhly zůstanou	shodné zobrazení – délky i úhly zůstanou
Rýsuješ	trojúhelník s ryskou (kolmice) + kružítko	pravítko (přímka přes S) + kružítko

6. Vyzkoušej: zobraz trojúhelník

Vyber souměrnost. Táhni vrcholy A, B, C a červené body (dva body osy o, nebo střed S). Pak klikni na „Krok za krokem“ a sleduj, jak se rýsuje obraz každého vrcholu.

Zkus: přetáhni vrchol přímo na osu (nebo na střed S) – stane se samodružným. A sleduj orientaci: u osové se obrátí, u středové zůstane. U středové si všimni, že strany A′B′C′ jsou rovnoběžné se stranami ABC.

7. Pozor na značení

Ve většině chyb u konstrukčních úloh nejde o rýsování, ale o to, že žák špatně přečte zadání. Tady je to podstatné.

Strana se značí malým písmenem vrcholu, který leží NAPROTI.
V △ABC: a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|. V △RST: r = |ST|, s = |RT|, t = |RS|.

Délka

|ST| = 5,8 cm
r = 5,8 cm
|AC| = 63 mm

Svislé čáry kolem dvou písmen = délka úsečky. Jednotka cm nebo mm.

Úhel

|∢RTS| = 80°
α = |∢CAB| = 50°
γ = |∢ACB| = 75°

Znak ∢ a tři písmena, vrchol úhlu je uprostřed. Jednotka stupně (°).

Nikdy nemíchej délky a úhly:
|BC| = 50° → úsečka nemůže mít stupně. Úhel α = 50° je u vrcholu A: |∢CAB| = 50°
|∢RTS| = 80 cm → úhel nemá centimetry: |∢RTS| = 80°
r = |RS| → strana r je naproti R, tedy r = |ST|

Fígl na test: Než začneš náčrt, napiš si vedle zadání „překlad“: r = |ST|, s = |RT|, úhel 80° je u vrcholu T. Pak v náčrtu obtáhni barevně, co je zadané. Hned uvidíš, jestli je to sus, nebo usu.

8. Vzorová úloha 1: △RST a osová souměrnost

Sestroj trojúhelník RST: r = 5,8 cm, s = 4,2 cm, |∢RTS| = 80° (náčrt, konstrukce). Sestroj jeho obraz v osové souměrnosti s osou ležící mimo trojúhelník.

Překlad zadání

r = |ST| = 5,8 cm (naproti R) · s = |RT| = 4,2 cm (naproti S) · |∢RTS| = 80° (vrchol T)

Náčrt a rozbor

Obě zadané strany |ST| a |RT| vycházejí z vrcholu T a úhel 80° je právě mezi nimi – je jimi sevřený. Konstrukce podle věty sus.

Začnu stranou ST (5,8 cm). U vrcholu T naneseme úhel 80° – bod R leží na rameni TX. Zároveň je R od T vzdálený 4,2 cm → leží na kružnici k(T; 4,2 cm).

Zápis konstrukce

1. ST; |ST| = 5,8 cm
2. ∢STX; |∢STX| = 80°
3. k; k(T; 4,2 cm)
4. R; R ∈ ↦TX ∩ k
5. △RST

Konstrukce

Kontrola po narýsování: |RS| ≈ 6,5 cm, |∢TSR| ≈ 39°, |∢SRT| ≈ 61°. Součet 80° + 39° + 61° = 180° ✓

Diskuse

Polopřímka TX protne kružnici k v jednom bodě. Úloha má v jedné polorovině s hraniční přímkou ST jedno řešení.

Obraz v osové souměrnosti

Osu o narýsuj mimo trojúhelník, nejlépe kus vedle a trochu šikmo. Pak zobraz každý vrchol zvlášť.

6. o; o ∩ △RST = ∅ (osa leží mimo trojúhelník)
7. p₁; p₁ ⊥ o, R ∈ p₁; P₁ ∈ p₁ ∩ o
8. k₁; k₁(P₁; |P₁R|); R′ ∈ p₁ ∩ k₁, R′ ≠ R
9. p₂; p₂ ⊥ o, S ∈ p₂; P₂ ∈ p₂ ∩ o
10. k₂; k₂(P₂; |P₂S|); S′ ∈ p₂ ∩ k₂, S′ ≠ S
11. p₃; p₃ ⊥ o, T ∈ p₃; P₃ ∈ p₃ ∩ o
12. k₃; k₃(P₃; |P₃T|); T′ ∈ p₃ ∩ k₃, T′ ≠ T
13. △R′S′T′

Krátce se to dá zapsat i takto: O(o): △RST → △R′S′T′.

Kontrola: |S′T′| = 5,8 cm, |R′T′| = 4,2 cm, |∢R′T′S′| = 80°. RST jde po směru hodinových ručiček, R′S′T′ proti směru – orientace se obrátila ✓

9. Vzorová úloha 2: △ABC a středová souměrnost

Sestroj trojúhelník ABC: b = 63 mm, α = 50°, γ = 75°. Sestroj jeho obraz ve středové souměrnosti se středem uvnitř trojúhelníka.

Překlad zadání

b = |AC| = 63 mm = 6,3 cm (naproti B) · α = |∢CAB| = 50° (u A) · γ = |∢ACB| = 75° (u C)

Náčrt a rozbor

Úhel α je u vrcholu A, úhel γ u vrcholu C. Oba leží v krajních bodech strany AC – přiléhají k ní. Konstrukce podle věty usu.

Začnu stranou AC (6,3 cm). U A naneseme 50°, bod B leží na polopřímce AX. U C naneseme 75°, bod B leží na polopřímce CY. B je jejich průsečík.

Zápis konstrukce

1. AC; |AC| = 6,3 cm
2. ∢CAX; |∢CAX| = 50°
3. ∢ACY; |∢ACY| = 75°
4. B; B ∈ ↦AX ∩ ↦CY
5. △ABC

Konstrukce

Kontrola: β = 180° − (50° + 75°) = 55°. Po narýsování |AB| ≈ 7,4 cm, |BC| ≈ 5,9 cm.

Diskuse

α + γ = 50° + 75° = 125° < 180° → polopřímky se protnou. Úloha má v jedné polorovině s hraniční přímkou AC jedno řešení.

Obraz ve středové souměrnosti

Střed S zvol uvnitř trojúhelníku (třeba blízko jeho prostředku). Každý vrchol přeneseš „skrz“ S na druhou stranu.

6. S; S leží uvnitř △ABC
7. ↔AS; k₁; k₁(S; |SA|); A′ ∈ ↔AS ∩ k₁, A′ ≠ A
8. ↔BS; k₂; k₂(S; |SB|); B′ ∈ ↔BS ∩ k₂, B′ ≠ B
9. ↔CS; k₃; k₃(S; |SC|); C′ ∈ ↔CS ∩ k₃, C′ ≠ C
10. △A′B′C′

Zápis: S(S): △ABC → △A′B′C′.

Kontrola: A′C′ ∥ AC, A′B′ ∥ AB, B′C′ ∥ BC. Oba trojúhelníky jdou po směru hodinových ručiček – orientace zůstala ✓ Obraz se s trojúhelníkem částečně překrývá, protože S leží uvnitř. To je v pořádku.

Fígl na test: Pomocné čáry (kolmice, přímky přes S, oblouky kružnic) nemaž. Učitel podle nich vidí, že jsi obraz sestrojil, a ne odhadl. Oblouk stačí krátký, jen v místě, kde vznikne obraz.

10. Typické chyby

Vzdálenost od osy měřím šikmo → vždy po kolmici k ose (trojúhelník s ryskou)

Obraz vynesu na stejnou stranu osy (nebo středu) → obraz leží vždy na druhé straně osy / za bodem S

Ve středové souměrnosti dám A′ do vzdálenosti 2 · |AS| od S → |SA′| = |SA|, S je střed úsečky AA′

Obraz trojúhelníku „odhadnu“ podle oka → každý vrchol zobrazím zvlášť, kolmicí (přímkou přes S) a kružítkem

Obraz nepopíšu, nebo popíšu A′ u jiného vrcholu → A′ je vždy na konci čáry, která vychází z A

Obdélník má 4 osy (i úhlopříčky) → obdélník má 2 osy, úhlopříčky to nejsou

r = |RS|, |BC| = 50° → r = |ST| (strana naproti R), |∢CAB| = 50°

11. Otázky a odpovědi

Zkus si nejdřív odpovědět sám. Pak klikni na otázku a podívej se na odpověď.

Jak sestrojíš obraz bodu A v osové souměrnosti s osou o?

Kolmice z A k ose, pata P, kružnice k(P; |PA|), průsečík na druhé straně osy je A′.

Platí AA′ ⊥ o a |AP| = |PA′|.

Bod A je od osy o vzdálený 2,5 cm. Jak daleko je od svého obrazu A′?

|AA′| = 2 · 2,5 cm = 5 cm

A′ je od osy taky 2,5 cm, ale na druhé straně.

Které body jsou v osové souměrnosti samodružné?

Všechny body osy o.

Ve středové souměrnosti je samodružný jen střed S.

Kolik os souměrnosti má rovnoramenný trojúhelník, který není rovnostranný?

Jednu.

Je to kolmice z hlavního vrcholu na základnu (prochází středem základny). Rovnostranný trojúhelník má 3 osy.

Kolik os souměrnosti má úsečka?

Dvě.

Osu úsečky (kolmici v jejím středu) a přímku, na které úsečka leží.

Jak sestrojíš obraz bodu A ve středové souměrnosti se středem S?

Přímka AS, kružnice k(S; |SA|), průsečík za bodem S je A′.

S je střed úsečky AA′, tedy |AS| = |SA′|.

Proč rovnostranný trojúhelník není středově souměrný?

Po otočení o 180° míří jeho špička opačně, obraz se s ním nekryje.

Žádný trojúhelník není středově souměrný. Středově souměrné jsou např. rovnoběžník, čtverec, kruh.

Co je obrazem kružnice k(O; 2 cm) ve středové souměrnosti se středem S?

Kružnice k′(O′; 2 cm), kde O′ je obraz středu O.

Poloměr se nezmění – je to shodné zobrazení. Stačí zobrazit jen střed.

Přímka p neprochází středem S. Jak leží její obraz p′ ve středové souměrnosti?

p′ ∥ p (rovnoběžka na druhé straně od S, ve stejné vzdálenosti).

V △RST je r = 5,8 cm, s = 4,2 cm, |∢RTS| = 80°. Které úsečky to jsou a podle které věty budeš rýsovat?

r = |ST|, s = |RT|; úhel u T je jimi sevřený → sus.

Strana se značí malým písmenem vrcholu, který leží naproti.

V △ABC je b = 63 mm, α = 50°, γ = 75°. Čím začneš konstrukci?

Stranou AC = 6,3 cm. α (u A) i γ (u C) k ní přiléhají → usu.

β = 180° − (50° + 75°) = 55°.

Která tiskací písmena jsou středově souměrná?

H, I, N, O, S, X, Z

Otoč papír vzhůru nohama – přečteš je stejně.

12. Dopiš do sešitu

Tohle si opiš do sešitu. Stačí to na celou kapitolu.

Osová souměrnost O(o): A → A′ (o … osa souměrnosti)
AA′ ⊥ o, osa půlí úsečku AA′: |AP| = |PA′|.
Konstrukce: kolmice z A k ose, pata P, kružnice k(P; |PA|) → A′ na druhé straně osy.
Samodružné body: všechny body osy. Orientace se obrátí.

Středová souměrnost S(S): A → A′ (S … střed souměrnosti)
S je střed úsečky AA′: |AS| = |SA′|.
Konstrukce: přímka AS, kružnice k(S; |SA|) → A′ za bodem S.
Samodružný bod: jen S. Obraz přímky je rovnoběžka. Orientace zůstane.

Obě jsou shodná zobrazení: obraz úsečky má stejnou délku, obraz kružnice stejný poloměr, obraz trojúhelníku je shodný trojúhelník.

Osy souměrnosti: čtverec 4, obdélník 2, kosočtverec 2, rovnostranný △ 3, rovnoramenný △ 1, kruh nekonečně mnoho.
Středově souměrné: úsečka, rovnoběžník (i čtverec, obdélník, kosočtverec), kruh. Trojúhelník nikdy.

Značení: strana = malé písmeno protějšího vrcholu (r = |ST|). Délka |ST| = 5,8 cm, úhel |∢RTS| = 80° – nemíchat!

13. Test

Klikni na odpověď. Hned uvidíš, jestli je správně, a proč. Na kreslení si vezmi papír, pravítko a kružítko. Na konci zkus test celý znovu – dokud nebudeš mít všechno.

0 / 0

14. Tahák na jednu stranu

Osová souměrnost O(o): A → A′

Kolmice z A k ose → pata P → k(P; |PA|) → A′ na druhé straně osy.
AA′ ⊥ o, |AP| = |PA′|. Samodružné: všechny body osy.
Orientace se obrátí (zrcadlo). Vzdálenost od osy měř vždy kolmo!

Středová souměrnost S(S): A → A′

Přímka AS → k(S; |SA|) → A′ za bodem S. S je střed AA′.
Samodružný jen S. Obraz přímky je rovnoběžka (AB ∥ A′B′).
Orientace zůstane (otočení o 180°).

Obrazy útvarů

Úsečka: zobraz krajní body. Trojúhelník: zobraz 3 vrcholy. Kružnice k(O; r) → k′(O′; r).
Obě souměrnosti jsou shodná zobrazení – délky i úhly zůstanou.

Souměrné útvary

Osy: čtverec 4 · obdélník 2 (ne úhlopříčky) · kosočtverec 2 · rovnostranný △ 3 · rovnoramenný △ 1 · kruh ∞.
Středově souměrné: úsečka, rovnoběžník, čtverec, obdélník, kruh. Trojúhelník NE.
Písmena středově: H I N O S X Z.

Značení a konstrukce

Strana = malé písmeno protějšího vrcholu: a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|; r = |ST|, s = |RT|, t = |RS|.
Délka: |ST| = 5,8 cm. Úhel: |∢RTS| = 80°. Nikdy |BC| = 50°!
Úloha: překlad zadání → náčrt (barevně dané prvky) → rozbor (sss/sus/usu) → zápis → konstrukce → diskuse → obraz.
r = 5,8 cm, s = 4,2 cm, |∢RTS| = 80° → sus, začni ST. b = 63 mm, α = 50°, γ = 75° → usu, začni AC.