Matematika · Cvičení z matematiky 18. 9. · Kružnice opsaná a vepsaná

Kružnice kolem a uvnitř trojúhelníku

Jedna kružnice jde přes všechny tři vrcholy, druhá se zevnitř dotkne všech tří stran. Na obě potřebuješ jen dvě konstrukce: osu úsečky a osu úhlu. Naučíš se, kterou kdy použít, kde leží střed a jak správně změřit poloměr.

Nejistý v rýsování trojúhelníku? Mrkni nejdřív na Trojúhelník – rýsování a Vnitřní úhly a konstrukce trojúhelníku.

1. Osa úsečky

Osa úsečky AB je přímka, která je kolmá na AB a prochází jejím středem. Rozpůlí úsečku napříč.

Každý bod osy úsečky AB je stejně daleko od bodu A jako od bodu B.

Platí to i obráceně: když je bod stejně daleko od A i od B, leží na ose AB. Proto se osa úsečky hodí všude, kde hledáš místo „stejně daleko od dvou bodů“.

Konstrukce osy úsečky AB

1. k₁; k₁(A; r), r > ½ · |AB|
2. k₂; k₂(B; r) – stejný poloměr!
3. X, Y; X, Y ∈ k₁ ∩ k₂
4. o; o = ↔XY

Kružítko nastavíš na víc než polovinu úsečky, uděláš oblouk nad i pod úsečkou z bodu A, pak se stejným rozevřením z bodu B. Průsečíky X a Y spojíš pravítkem. Kde osa protne AB, je střed úsečky.

Fígl na test: Proč musí být poloměr větší než polovina |AB|? Když je menší, oblouky z A a z B se vůbec nepotkají. A když z A a z B vezmeš různý poloměr, průsečíky neleží na ose.

2. Osa úhlu

Osa úhlu je polopřímka z vrcholu, která úhel rozpůlí na dva stejné úhly.

Každý bod osy úhlu je stejně daleko od obou ramen úhlu.

Pozor, vzdálenost bodu od ramene (od přímky) se měří po kolmici – nejkratší cestou. Ne šikmo, ne k vrcholu.

Konstrukce osy úhlu ∢AVB

1. k; k(V; libovolný poloměr)
2. K, L; K ∈ k ∩ ↦VA, L ∈ k ∩ ↦VB
3. k₁(K; s), k₂(L; s) – stejný poloměr s
4. X; X ∈ k₁ ∩ k₂ (uvnitř úhlu)
5. o; o = ↦VX

Z vrcholu V uděláš oblouk, který protne obě ramena (body K a L). Z K a z L stejným rozevřením další dva oblouky. Jejich průsečík X spojíš s vrcholem.

Osa úsečky

Je to přímka. Body na ní jsou stejně daleko od dvou bodů.

Osa úhlu

Je to polopřímka z vrcholu. Body na ní jsou stejně daleko od dvou přímek (ramen).

3. Kružnice opsaná

Kružnice opsaná trojúhelníku prochází všemi třemi vrcholy. Trojúhelník je „uvnitř ní“, kružnice ho obepíná.

Její střed S musí být stejně daleko od A, B i C. Stejně daleko od A a B jsou body osy strany AB. Stejně daleko od B a C jsou body osy strany BC. Obojí splňuje jen jejich průsečík.

Střed kružnice opsané = průsečík os stran.
Poloměr r = |SA| = |SB| = |SC| (vzdálenost středu od vrcholu).

Řešený příklad: zápis konstrukce

Sestroj △ABC: a = 6 cm, b = 5 cm, c = 7 cm. Pak mu sestroj kružnici opsanou.

1. △ABC; a = 6 cm, b = 5 cm, c = 7 cm
2. o₁; o₁ je osa úsečky AB
3. o₂; o₂ je osa úsečky BC
4. S; S ∈ o₁ ∩ o₂
5. k; k(S; r = |SA|)

Kontrola: kružnice musí projít i bodem B a C. Když narýsuješ i třetí osu (strany AC), musí jít stejným bodem S. Při přesném rýsování vyjde r asi 3,6 cm.

Fígl na test: Stačí dvě osy stran. Třetí osa prochází tím samým bodem – narýsuj ji jen jako kontrolu přesnosti.

Kde leží střed? Záleží na úhlech

Trojúhelník	Největší úhel	Střed kružnice opsané
ostroúhlý	menší než 90°	uvnitř trojúhelníku
pravoúhlý	přesně 90°	ve středu přepony
tupoúhlý	větší než 90°	vně – za nejdelší stranou, naproti tupému úhlu

Pravoúhlý trojúhelník – bez rýsování os

U pravoúhlého trojúhelníku je střed kružnice opsané střed přepony. Poloměr je polovina přepony.

△ABC má pravý úhel u vrcholu C, přepona |AB| = 9 cm. Jaký poloměr má kružnice opsaná?

Střed S = střed přepony AB
r = |AB| : 2 = 9 cm : 2 = 4,5 cm

Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku má i vlastní jméno: Thaletova kružnice nad přeponou. Víc o ní uslyšíš později.

Fígl na test: Když v zadání vidíš pravý úhel a ptají se na kružnici opsanou, nic nerýsuj ani nepočítej složitě. Přepona : 2 = poloměr.

4. Kružnice vepsaná

Kružnice vepsaná je uvnitř trojúhelníku a dotýká se všech tří stran. Každé straně se dotkne v jednom bodě (bod dotyku).

Její střed musí být stejně daleko od všech tří stran. Stejně daleko od stran AB a AC jsou body osy úhlu u vrcholu A. Stejně daleko od AB a BC jsou body osy úhlu u B. Obojí splňuje jen jejich průsečík.

Střed kružnice vepsané = průsečík os úhlů.
Poloměr r = |ST|, kde T je pata kolmice ze S na stranu (bod dotyku).

Poloměr: tady se chybuje nejčastěji

Střed máš, ale kam zapíchnout tužku kružítka? Vzdálenost středu od strany se měří po kolmici. Proto musíš:

a) ze středu S spustit kolmici p na jednu stranu (třeba AB),
b) najít průsečík T kolmice se stranou – to je bod dotyku,
c) poloměr r = |ST|.

Řešený příklad: zápis konstrukce

Sestroj △ABC: a = 6 cm, b = 5 cm, c = 7 cm. Pak mu sestroj kružnici vepsanou.

1. △ABC; a = 6 cm, b = 5 cm, c = 7 cm
2. o_α; o_α je osa úhlu BAC
3. o_β; o_β je osa úhlu ABC
4. S; S ∈ o_α ∩ o_β
5. p; p ⊥ AB, S ∈ p
6. T; T ∈ p ∩ AB
7. k; k(S; r = |ST|)

Kontrola: kružnice se musí dotknout všech tří stran, nesmí je protnout ani z nich vylézt. Při přesném rýsování vyjde r asi 1,6 cm.

Střed kružnice vepsané leží vždy uvnitř trojúhelníku – u ostroúhlého, pravoúhlého i tupoúhlého.

Fígl na test: Rovnostranný trojúhelník je výjimka, kde se obě kružnice potkají: osy stran a osy úhlů tam leží na stejných přímkách, takže kružnice opsaná i vepsaná mají stejný střed.

5. Vyzkoušej si: táhni vrcholy

Chyť vrchol A, B nebo C (myší nebo prstem) a táhni. Vrcholy skáčou po mřížce 0,5 cm. Na klávesnici: klávesou Tab vyber vrchol a posouvej šipkami. Sleduj, kam se stěhuje střed.

Kružnice opsaná (osy stran)
Kružnice vepsaná (osy úhlů)

Zkus: u opsané táhni vrchol C tak, aby úhel u C byl čím dál větší. Ve chvíli, kdy přejde přes 90°, střed S „vyskočí“ z trojúhelníku ven. U vepsané se to nestane nikdy.

6. Typické chyby

Záměna os

Špatně: kružnice opsaná – narýsuju osy úhlů

Správně: opsaná → osy stran, vepsaná → osy úhlů

Opsaná prochází vrcholy (body), takže hledáš místo stejně daleko od bodů → osy stran. Vepsaná se dotýká stran (přímek), takže hledáš místo stejně daleko od přímek → osy úhlů.

Poloměr vepsané až k vrcholu

Špatně: k(S; |SA|) – kružnice vyleze z trojúhelníku

Správně: kolmice ze S na stranu, bod T, k(S; |ST|)

Další chyby

Špatně: oblouky z A a B různým poloměrem → průsečíky neleží na ose. Správně: z obou bodů stejné rozevření kružítka.

Špatně: osa strany vede z protějšího vrcholu → to je jiná čára. Správně: osa strany jde středem strany a je na ni kolmá, vrcholem vůbec nemusí projít.

Špatně: střed opsané je vždycky uvnitř. Správně: u tupoúhlého je vně, u pravoúhlého ve středu přepony.

Fígl na test: Na kontrolu vždy obtáhni kružnici celou. Opsaná musí jít přesně přes 3 vrcholy. Vepsaná se musí 3× dotknout stran. Když ne, máš chybu v ose nebo v poloměru.

7. Slovní úlohy

Ve slovní úloze se nikdo nezeptá „sestroj kružnici opsanou“. Musíš poznat, co se hledá:

„stejně daleko od tří bodů“

domy, stromy, města, sloupy → střed kružnice opsané (osy stran)

„stejně daleko od tří čar“

silnice, ploty, břehy, zdi → střed kružnice vepsané (osy úhlů)

a) Tři domy stojí v bodech A, B, C. Kde vykopat společnou studnu, aby to bylo ke každému domu stejně daleko?

Stejně daleko od A a B → osa úsečky AB.
Stejně daleko od B a C → osa úsečky BC.
Studna S = průsečík os = střed kružnice opsané △ABC.

Kdyby domy tvořily tupoúhlý trojúhelník, studna vyjde mimo trojúhelník domů. Je to v pořádku. A kdyby všechny tři domy stály na jedné přímce, osy jsou rovnoběžné a takové místo neexistuje.

b) Tři rovné cesty ohraničují trojúhelníkový park. Kam postavit lavičku, aby byla od všech tří cest stejně daleko?

Stejně daleko od dvou cest → osa úhlu, který svírají.
Lavička = průsečík os úhlů = střed kružnice vepsané.
Vzdálenost k cestě = poloměr r = kolmá vzdálenost.

c) Na trojúhelníkovém pozemku má být co největší kruhový záhon. Jak ho narýsuješ?

Kruh uvnitř trojúhelníku, co se dotkne všech tří plotů → kružnice vepsaná.

d) Kruhový stůl má mít tři nohy ve vrcholech trojúhelníku, který svírá pravý úhel. Nejdelší strana (přepona) měří 80 cm. Jaký poloměr musí mít deska, aby nohy byly přesně na jejím okraji?

Okraj prochází třemi body → kružnice opsaná.
Pravoúhlý trojúhelník → střed je střed přepony.
r = 80 cm : 2 = 40 cm

8. Otázky a odpovědi

Zkus si nejdřív odpovědět sám. Pak klikni na otázku a podívej se na odpověď.

Co je osa úsečky a jakou vlastnost mají její body?

Přímka kolmá na úsečku, která prochází jejím středem. Každý její bod je stejně daleko od obou krajních bodů.

Bod X na ose AB: |XA| = |XB|.

Jakou vlastnost mají body osy úhlu?

Jsou stejně daleko od obou ramen úhlu.

Vzdálenost od ramene se měří po kolmici.

Co je střed kružnice opsané a co střed kružnice vepsané?

Opsaná: průsečík os stran. Vepsaná: průsečík os úhlů.

Opsaná jde přes vrcholy (body) → osy stran. Vepsaná se dotýká stran (přímek) → osy úhlů.

Proč stačí narýsovat jen dvě osy?

Třetí osa prochází stejným bodem jako první dvě.

Hodí se jako kontrola: když třetí osa průsečíkem neprojde, rýsoval jsi nepřesně.

Kde leží střed kružnice opsané u ostroúhlého, pravoúhlého a tupoúhlého trojúhelníku?

ostroúhlý – uvnitř · pravoúhlý – ve středu přepony · tupoúhlý – vně

U tupoúhlého leží za nejdelší stranou, naproti tupému úhlu.

Pravoúhlý trojúhelník má přeponu 15 cm. Jaký poloměr má kružnice opsaná?

r = 15 cm : 2 = 7,5 cm

Střed je ve středu přepony, přepona je průměr kružnice.

Může střed kružnice vepsané ležet mimo trojúhelník?

Ne. Leží vždy uvnitř.

Osy vnitřních úhlů vedou z vrcholů dovnitř trojúhelníku, takže se protnou uvnitř.

Jak zjistíš poloměr kružnice vepsané?

Ze středu S spustíš kolmici na stranu, průsečík je bod dotyku T, r = |ST|.

Nikdy ne |SA| – to je vzdálenost ke vrcholu a kružnice by vylezla ven.

S je střed kružnice opsané △ABC a |SB| = 5 cm. Kolik je |SA| a |SC|?

|SA| = |SC| = 5 cm

Všechny vrcholy leží na kružnici, takže jsou od středu stejně daleko – o poloměr.

Jak to vypadá u rovnostranného trojúhelníku?

Kružnice opsaná i vepsaná mají stejný střed.

Osa každé strany tam prochází protějším vrcholem a půlí jeho úhel – je to zároveň osa úhlu.

Tři domy stojí na jedné přímce. Dá se najít místo stejně daleko od všech tří?

Ne.

Osy úseček na jedné přímce jsou všechny kolmé na tu přímku, takže jsou navzájem rovnoběžné a nemají průsečík. Body na přímce netvoří trojúhelník.

9. Dopiš do sešitu

Tohle si opiš do sešitu. Stačí to na celou látku.

Osa úsečky AB – přímka kolmá na AB, prochází jejím středem. Každý její bod je stejně daleko od A i od B.
Osa úhlu – polopřímka z vrcholu, půlí úhel. Každý její bod je stejně daleko od obou ramen (po kolmici).

Kružnice opsaná – prochází všemi vrcholy.
Střed S = průsečík os stran, r = |SA| = |SB| = |SC|.
ostroúhlý △ → S uvnitř · pravoúhlý △ → S ve středu přepony, r = přepona : 2 · tupoúhlý △ → S vně

Kružnice vepsaná – dotýká se všech stran.
Střed S = průsečík os úhlů, leží vždy uvnitř.
r = |ST|, T = pata kolmice ze S na stranu (bod dotyku).

Zápis – opsaná: 1. △ABC 2. o₁ osa AB 3. o₂ osa BC 4. S ∈ o₁ ∩ o₂ 5. k(S; |SA|)
Zápis – vepsaná: 1. △ABC 2. o_α 3. o_β 4. S ∈ o_α ∩ o_β 5. p ⊥ AB, S ∈ p 6. T ∈ p ∩ AB 7. k(S; |ST|)

Stejně daleko od tří bodů → opsaná. Stejně daleko od tří přímek → vepsaná.

10. Test

Klikni na odpověď. Hned uvidíš, jestli je správně, a proč. Na počítání si vezmi papír, tužku a pravítko. Na konci zkus test celý znovu – dokud nebudeš mít všechno.

0 / 0

11. Tahák na jednu stranu

Osy

Osa úsečky AB: kolmá na AB, jde středem. Body osy: |XA| = |XB|.
Konstrukce: k₁(A; r), k₂(B; r), stejné r > ½ · |AB|, průsečíky X, Y → ↔XY.
Osa úhlu: půlí úhel. Body osy jsou stejně daleko od obou ramen (po kolmici).
Konstrukce: oblouk z V → K, L; z K a L stejným poloměrem → X; ↦VX.

Kružnice opsaná

Prochází vrcholy. Střed = průsečík os stran. r = |SA|.
Ostroúhlý → S uvnitř · pravoúhlý → S = střed přepony, r = přepona : 2 (Thaletova kružnice) · tupoúhlý → S vně.
Zápis: △ABC; o₁ osa AB; o₂ osa BC; S ∈ o₁ ∩ o₂; k(S; |SA|).

Kružnice vepsaná

Dotýká se stran. Střed = průsečík os úhlů, vždy uvnitř.
r = |ST|: kolmice ze S na stranu, T = bod dotyku. Nikdy ne |SA|!
Zápis: △ABC; o_α; o_β; S ∈ o_α ∩ o_β; p ⊥ AB, S ∈ p; T ∈ p ∩ AB; k(S; |ST|).

Slovní úlohy a kontrola

Stejně daleko od 3 bodů (domy) → opsaná. Od 3 přímek (cesty, ploty) → vepsaná. Největší kruh uvnitř → vepsaná.
Stačí 2 osy, třetí = kontrola. Opsaná jde přes 3 vrcholy, vepsaná se 3× dotkne stran.
Rovnostranný △: obě kružnice mají stejný střed.