Matematika · Cvičení z matematiky 4. 9. a 7. 9. · desetinná čísla a průměr
Kam s tou čárkou?
Desetinná čísla potkáš v každém obchodě a průměr na každém vysvědčení. Zopakuješ si, kam patří čárka při sčítání, násobení i dělení, jak zaokrouhlovat a jak se počítá obyčejný a vážený průměr. Na konci si spočítáš průměr svých známek.
Potřebuješ si zopakovat záporná čísla? Mrkni na Celá čísla.
1. Pravidla, která musíš umět
Čtyři věci, na kterých se v testu nejčastěji ztrácejí body. Projdi si je, pak je vyzkoušej v tréninku.
Co se stane s číslicemi za řádem
před čárkou → nuly
za čárkou → zmizí
739 848,0218 ≈ 740 000 (na tisíce)
ne 739 848,0218 – to je jen opsané
Přenos přes devítky
14 998,996 na setiny: za 9 je 6 → nahoru
9 + 1 = 10 → píšu 0, 1 nesu dál
14 998,996 ≈ 14 999,00
| 739 848,0218 na | Řád a číslice za ním | Výsledek |
|---|---|---|
| setiny | 739 848,0218 1 → dolů | 739 848,02 |
| desetiny | 739 848,0218 2 → dolů | 739 848,0 |
| jednotky | 739 848,0218 0 → dolů | 739 848 |
| stovky | 739 848,0218 4 → dolů | 739 800 |
| tisíce | 739 848,0218 8 → nahoru: 9 + 1 = 10 | 740 000 |
Na desetiny a setiny piš přesně tolik desetinných míst, i když je poslední nula: 739 848,0 · 14 999,00.
87,3 : 0,001 = 87 300 : 1 = 87 300
0,032 : 0,8 = 0,32 : 8 = 0,04
4,9 : 0,7 = 49 : 7 = 7
87,3 : 0,001 = 0,0873 – čárka šla na opačnou stranu (jako dělení 1 000). 0,032 : 0,8 = 0,004 a 4,9 : 0,7 = 0,7 – čárka posunutá jen v děliteli.
Kontrola odhadem: dělím číslem menším než 1 → výsledek je VĚTŠÍ než dělenec.
58,300 − 29,879 28,421
58,3 = 58,300 – nuly na hodnotě nic nemění, jen má každý sloupec nahoře číslici.
0 − 9 nejde → 10 − 9 = 1, 1 si pamatuju
0 − (7 + 1) → 10 − 8 = 2, 1 si pamatuju
3 − (8 + 1) → 13 − 9 = 4, 1 si pamatuju
8 − (9 + 1) → 18 − 10 = 8 ne 0
5 − (2 + 1) = 2
Zkouška: 28,421 + 29,879 = 58,300 ✓
0,76 : 3,1 (na 2 desetinná místa, urči zbytek, proveď zkoušku)
1. Posun o 1 místo v obou: 0,76 : 3,1 = 7,6 : 31
2. Dělím: 7,6 : 31 = 0,24 (76 : 31 = 2 zb. 14; 140 : 31 = 4 zb. 16)
3. Zbytek z původního zadání: 0,76 − 3,1 · 0,24 = 0,76 − 0,744 = 0,016
4. Zkouška: 3,1 · 0,24 + 0,016 = 0,744 + 0,016 = 0,76 ✓
76 : 310 = 0,20 zb. 1,4 – čárka posunutá o 2 místa a zbytek se špatnou čárkou. Posouvám jen tolik, aby byl dělitel celý (3,1 → 31). Zbytek počítám ze zadání: dělenec − dělitel · výsledek. Zkouška to vždy prozradí: 3,1 · 0,20 + 1,4 = 2,02, a to není 0,76.
2. Trénink
Vyber, co chceš trénovat. Spočítej příklad na papír a napiš výsledek (čárka i tečka platí, mezery nevadí). Pak klikni na Zkontrolovat. Tlačítko Ukázat postup vypíše řešení řádek po řádku.
Když napíšeš špatný výsledek, který vzniká typickou chybou (číslo jen opsané, čárka na opačnou stranu, zapomenutá jednička při půjčování), trénink ti řekne, kde nejspíš chybuješ. U zaokrouhlování hlídá i počet desetinných míst.
3. Sčítání a odčítání pod sebou
Desetinná čísla sčítáš a odčítáš stejně jako celá. Jediné, na co musíš myslet: jednotky pod jednotky, desetiny pod desetiny. To zajistíš tak, že napíšeš čárku pod čárku.
a) 12,5 + 3,78
12,50 + 3,78 16,28
Za 12,5 si dopíšeš nulu (12,50), ať mají obě čísla stejně míst. Na hodnotě se tím nic nemění.
b) 7 − 2,35
7,00 − 2,35 4,65
Celé číslo 7 má čárku „neviditelnou“ na konci: 7 = 7,00.
c) Pavel koupil 3 rohlíky za 8,70 Kč a mléko za 21,50 Kč. Platil padesátikorunou. Kolik mu vrátí?
Nákup: 8,70 + 21,50 = 30,20 Kč
Vrátí: 50,00 − 30,20 = 19,80 Kč
Zkouška: 30,20 + 19,80 = 50,00. Sedí.
4. Násobení desetinných čísel
Při násobení čárky pod sebou zarovnávat nemusíš. Vynásobíš čísla, jako by čárky nebyly, a čárku dáš až do výsledku.
a) 2,4 · 1,3
2,4 · 1,3 72 24 3,12
24 · 13 = 312. Desetinná místa: 1 + 1 = 2 → 3,12.
b) 0,3 · 0,2
3 · 2 = 6
desetinná místa: 1 + 1 = 2
6 → 0,06
Míst je víc než číslic, proto zepředu doplníš nuly: 0,06.
c) 1,25 · 0,4
125 · 4 = 500
desetinná místa: 2 + 1 = 3 → 0,500 = 0,5
Nejdřív odpočítej místa (i s nulami), teprve potom nuly na konci škrtni.
d) Maminka koupila 1,5 kg jablek po 32,60 Kč za kilogram. Kolik zaplatila?
32,60 · 1,5: 3 260 · 15 = 48 900, místa 2 + 1 = 3 → 48,900
Zaplatila 48,90 Kč.
5. Násobení a dělení 10, 100, 0,1 a 0,01
Tady nemusíš nic počítat. Stačí posunout čárku. Kolik nul, o tolik míst.
Násobím 10, 100, 1 000 → doprava
3,45 · 10 = 34,5
3,45 · 100 = 345
0,07 · 1 000 = 70
Číslo se zvětší. Chybějící místa doplníš nulami.
Dělím 10, 100, 1 000 → doleva
3,45 : 10 = 0,345
3,45 : 100 = 0,0345
45 : 1 000 = 0,045
Číslo se zmenší. Před číslo doplníš nuly.
A co 0,1 a 0,01?
0,1 je desetina, takže násobit 0,1 znamená vzít desetinu – je to totéž jako dělit 10. A dělit 0,1 je naopak totéž jako násobit 10.
| Počítám | Je to totéž jako | Čárka | Příklad |
|---|---|---|---|
| · 0,1 | : 10 | o 1 místo doleva | 72 · 0,1 = 7,2 |
| · 0,01 | : 100 | o 2 místa doleva | 56 · 0,01 = 0,56 |
| : 0,1 | · 10 | o 1 místo doprava | 7,2 : 0,1 = 72 |
| : 0,01 | · 100 | o 2 místa doprava | 5,6 : 0,01 = 560 |
6. Dělení desetinných čísel
a) Dělím celým číslem
Dělíš jako obvykle. Ve chvíli, kdy v dělenci „přejdeš“ čárku, napíšeš čárku i do výsledku.
7,5 : 3 = 2,5
7 : 3 = 2, zbytek 1. Přejdu čárku → píšu čárku. Sepíšu 5 → 15 : 3 = 5. Výsledek 2,5.
7 : 4 = 1,75
7 : 4 = 1, zbytek 3. Číslo 7 = 7,00 – píšu čárku a dopisuji nuly: 30 : 4 = 7, zbytek 2; 20 : 4 = 5.
b) Dělím desetinným číslem
Desetinným číslem dělit neumíme, a tak si příklad upravíme: posuneme čárku v děliteli i v dělenci o stejný počet míst doprava, až je dělitel celé číslo. Výsledek se tím nezmění (obě čísla vynásobíš stejně, třeba 10 nebo 100).
c) 4,8 : 0,6
Dělitel 0,6 má 1 desetinné místo → posunu o 1 místo v obou.
4,8 : 0,6 = 48 : 6 = 8
Zkouška: 8 · 0,6 = 4,8.
d) 1,2 : 0,04
Dělitel 0,04 má 2 desetinná místa → posunu o 2 místa v obou.
1,2 : 0,04 = 120 : 4 = 30
Dělenec 1,2 má jen jedno místo – chybějící místo doplníš nulou: 1,20 → 120.
e) 3,15 : 1,5
Posunu o 1 místo v obou: 31,5 : 15 = 2,1
Dělenec může zůstat desetinný – vadí jen desetinný dělitel. Zkouška: 2,1 · 1,5 = 3,15.
f) Kolik balíčků po 0,25 kg naplníš z 2,5 kg mouky?
2,5 : 0,25 = 250 : 25 = 10 balíčků
7. Zaokrouhlování
Nejdřív si najdi řád, na který zaokrouhluješ: jednotky, desetiny (1. místo za čárkou), setiny (2. místo), tisíciny (3. místo). Pak se podívej na jednu číslici hned za ním.
Je 5, 6, 7, 8, 9 → zaokrouhlím nahoru (číslice se zvětší o 1).
Všechno za zaokrouhlovaným místem škrtnu.
| Číslo | na jednotky | na desetiny | na setiny |
|---|---|---|---|
| 3,846 | 4 | 3,8 | 3,85 |
| 12,4951 | 12 | 12,5 | 12,50 |
| 2,95 | 3 | 3,0 | 2,95 |
| 0,449 | 0 | 0,4 | 0,45 |
Zaokrouhli 3,846 na setiny.
Setiny: 3,846 → za nimi je 6 → nahoru → 3,85
Zaokrouhli 2,95 na desetiny.
Desetiny: 2,95 → za nimi je 5 → nahoru → 9 + 1 = 10, přenese se do jednotek → 3,0
Nulu na konci tady nechej. „3,0“ říká, že jsi zaokrouhloval na desetiny.
Zaokrouhlený výsledek zapisuj se znaménkem ≈ (přibližně): 13 : 6 = 2,166… ≈ 2,17.
8. Aritmetický průměr
Průměr říká, kolik by vyšlo na každého, kdybychom všechno spravedlivě rozdělili. Představ si, že nasypeš všechny hodnoty na jednu hromadu a rozdělíš na stejně velké díly.
a) Ranní teploty během čtyř dnů byly 12 °C, 15 °C, 9 °C a 14 °C. Jaká byla průměrná teplota?
Součet: 12 + 15 + 9 + 14 = 50
Počet: 4
Průměr: 50 : 4 = 12,5 °C
Průměr může být číslo, které mezi hodnotami vůbec není. A vždycky leží mezi nejmenší (9) a největší (15) hodnotou.
b) Známky: 1, 2, 2, 3, 1. Jaký je průměr?
(1 + 2 + 2 + 3 + 1) : 5 = 9 : 5 = 1,8
Úlohy pozpátku
c) Průměr tří čísel je 8. Dvě z nich jsou 6 a 7. Jaké je třetí?
Součet všech tří: 8 · 3 = 24
Třetí číslo: 24 − 6 − 7 = 11
Zkouška: (6 + 7 + 11) : 3 = 24 : 3 = 8.
d) Ze čtyř testů měl Jirka průměr 2,5. Po pátém testu má průměr 2,2. Jakou známku dostal?
Součet čtyř známek: 2,5 · 4 = 10
Součet pěti známek: 2,2 · 5 = 11
Pátá známka: 11 − 10 = 1
9. Vážený aritmetický průměr
Někdy nemají všechny hodnoty stejnou důležitost. Písemka „váží“ víc než zkoušení u tabule, 3 kg ořechů ovlivní cenu směsi víc než 1 kg rozinek. Každá hodnota proto dostane váhu – číslo, které říká, kolikrát se počítá.
(ne počet hodnot!)
Σ (čti „sigma“) znamená „součet“. Klidně ho nepiš a napiš slovy.
a) Známky s vahami
Eliška má z matematiky: písemku za 1 (váha 3), zkoušení za 2 (váha 1) a čtvrtletku za 4 (váha 2). Jaký má průměr?
1. Známka · váha a sečti: 1 · 3 + 2 · 1 + 4 · 2 = 3 + 2 + 8 = 13
2. Sečti váhy: 3 + 1 + 2 = 6
3. Vyděl: 13 : 6 = 2,166… ≈ 2,17
Bez vah by vyšlo (1 + 2 + 4) : 3 = 7 : 3 ≈ 2,33. Váha 3 u jedničky průměr vylepšila. Je to stejné, jako by měla jedničku třikrát, dvojku jednou a čtyřku dvakrát – tedy 6 známek.
b) Cena směsi
Smíchají se 3 kg ořechů po 240 Kč/kg a 2 kg rozinek po 140 Kč/kg. Kolik stojí 1 kg směsi?
Cena celé směsi: 3 · 240 + 2 · 140 = 720 + 280 = 1 000 Kč
Hmotnost směsi: 3 + 2 = 5 kg
Cena 1 kg: 1 000 : 5 = 200 Kč/kg
Váhami jsou tu kilogramy. Ořechů je víc, proto je cena blíž 240 než 140. Obyčejný průměr (240 + 140) : 2 = 190 Kč by byl špatně.
c) Průměr třídy podle četností
Když se stejná hodnota opakuje, nemusíš ji sčítat pořád dokola. Stačí ji vynásobit tím, kolikrát se vyskytuje (četnost). Četnost je váha.
| Známka | Počet žáků (četnost) | Známka · četnost |
|---|---|---|
| 1 | 6 | 6 |
| 2 | 8 | 16 |
| 3 | 5 | 15 |
| 4 | 1 | 4 |
| celkem | 20 | 41 |
Průměr třídy: 41 : 20 = 2,05
10. Kalkulačka váženého průměru známek
Zadej své známky a jejich váhy. Kalkulačka ukáže celý postup – stejně, jak ho píšeš do sešitu. Váha může být i desetinná (0,5).
Nebo si vyber příklad:
Váhy si každá škola určuje sama (třeba písemka 3, test 2, zkoušení 1). Podívej se, jaké váhy máš v žákovské.
11. Typické chyby
Červeně je oprava. Projdi si je – přesně tyhle chyby bývají v testech mezi možnostmi.
Sčítání – čísla zarovnaná doprava místo čárky pod čárku:
12,5 + 3,78 = 5,03 12,50 + 3,78 = 16,28
Násobení – čárka „opsaná“ jen z jednoho činitele:
0,3 · 0,2 = 0,6 0,3 · 0,2 = 0,06 (1 + 1 = 2 místa)
Násobení 10 – jen připsaná nula:
2,4 · 10 = 2,40 2,4 · 10 = 24 (čárka doprava)
Dělení – čárka posunutá jen v děliteli:
4,8 : 0,6 = 4,8 : 6 = 0,8 4,8 : 0,6 = 48 : 6 = 8
Dělení číslem menším než 1 – „dělení zmenšuje“:
5 : 0,5 = 2,5 5 : 0,5 = 50 : 5 = 10
Zaokrouhlování postupně:
0,449 ≈ 0,45 ≈ 0,5 0,449 ≈ 0,4 (rozhoduje jen 4)
Vážený průměr dělený počtem známek:
13 : 3 ≈ 4,33 13 : 6 ≈ 2,17 (součet vah 3 + 1 + 2)
Cena směsi jako obyčejný průměr cen:
(240 + 140) : 2 = 190 Kč (3 · 240 + 2 · 140) : 5 = 200 Kč
12. Otázky a odpovědi
Zkus si nejdřív odpovědět sám. Pak klikni na otázku a podívej se na odpověď.
Vypočítej 5,7 + 0,48 a 10 − 3,06.
6,18 · 6,94
5,70 + 0,48 = 6,18. 10,00 − 3,06 = 6,94. Čárka pod čárku, nuly doplnit.
Vypočítej 0,5 · 0,5 a 1,25 · 0,4.
0,25 · 0,5
5 · 5 = 25, místa 1 + 1 = 2 → 0,25. 125 · 4 = 500, místa 2 + 1 = 3 → 0,500 = 0,5.
Vypočítej 0,07 · 1 000; 45 : 1 000; 8,3 · 0,01.
70 · 0,045 · 0,083
· 1 000 → čárka o 3 místa doprava. : 1 000 → o 3 místa doleva. · 0,01 je totéž jako : 100 → o 2 místa doleva.
Vypočítej 0,36 : 0,9 a 9 : 0,3.
0,4 · 30
0,36 : 0,9 = 3,6 : 9 = 0,4 (čárka o 1 místo v obou). 9 : 0,3 = 90 : 3 = 30. Zkouška: 0,4 · 0,9 = 0,36; 30 · 0,3 = 9.
Proč se při dělení desetinným číslem smí posunout čárka v obou číslech?
Protože tím obě čísla vynásobíš stejně (10, 100…) a podíl se nezmění.
Stejně jako 6 : 2 = 60 : 20 = 600 : 200 = 3. Proto 4,8 : 0,6 = 48 : 6.
Zaokrouhli 12,4951 na jednotky, na desetiny a na setiny.
12 · 12,5 · 12,50
Na jednotky: za nimi 4 → dolů. Na desetiny: 12,4 a za tím 9 → nahoru 12,5. Na setiny: 12,49 a za tím 5 → nahoru 12,50 (nulu na konci nech).
Jaký je průměr známek 1, 2, 2, 3, 1?
(1 + 2 + 2 + 3 + 1) : 5 = 9 : 5 = 1,8
Matěj má známky 2 (váha 2), 3 (váha 1), 1 (váha 1) a 2 (váha 3). Jaký má vážený průměr?
2 · 2 + 3 · 1 + 1 · 1 + 2 · 3 = 4 + 3 + 1 + 6 = 14; váhy 2 + 1 + 1 + 3 = 7; 14 : 7 = 2
Pavla má tři dvojky (každá váha 1) a písemku za 1 s váhou 3. Jaký má průměr?
(2 + 2 + 2 + 1 · 3) : (1 + 1 + 1 + 3) = 9 : 6 = 1,5
Bez vah by to bylo 7 : 4 = 1,75. Písemka s velkou váhou průměr hodně vylepšila.
Smíchají se 2 kg kávy po 400 Kč/kg a 3 kg kávy po 300 Kč/kg. Kolik stojí 1 kg směsi?
(2 · 400 + 3 · 300) : (2 + 3) = (800 + 900) : 5 = 1 700 : 5 = 340 Kč/kg
Ne (400 + 300) : 2 = 350 Kč. Levnější kávy je víc, proto je cena blíž 300.
Ve třídě dostalo jedničku 6 žáků, dvojku 8, trojku 5 a čtyřku 1. Jaký je průměr třídy?
(1 · 6 + 2 · 8 + 3 · 5 + 4 · 1) : 20 = 41 : 20 = 2,05
Dělíš počtem žáků (6 + 8 + 5 + 1 = 20), ne počtem různých známek.
Průměr tří čísel je 8. Dvě z nich jsou 6 a 7. Jaké je třetí?
8 · 3 = 24; 24 − 6 − 7 = 11
13. Zapiš si do sešitu
Tohle si opiš do sešitu. Stačí to na celou kapitolu.
Násobení: násobím bez čárek, výsledek má tolik desetinných míst, kolik oba činitelé dohromady. 0,3 · 0,2 = 0,06
· 10, 100, 1 000: čárka doprava o tolik míst, kolik je nul. : 10, 100, 1 000: doleva.
· 0,1 = : 10 · · 0,01 = : 100 · : 0,1 = · 10 · : 0,01 = · 100
Dělení desetinným číslem: posunu čárku v děliteli i v dělenci o stejný počet míst, až je dělitel celé číslo. 4,8 : 0,6 = 48 : 6 = 8
Zaokrouhlování: rozhoduje číslice hned za zaokrouhlovaným místem: 0–4 dolů, 5–9 nahoru. 3,846 ≈ 3,85
Aritmetický průměr = součet hodnot : počet hodnot. (12 + 15 + 9 + 14) : 4 = 12,5
součet = průměr · počet
Vážený průměr = (hodnota · váha + hodnota · váha + …) : součet vah
(1 · 3 + 2 · 1 + 4 · 2) : (3 + 1 + 2) = 13 : 6 ≈ 2,17
Váha = důležitost, množství (kg) nebo četnost (počet žáků).
14. Test
Klikni na odpověď. Hned uvidíš, jestli je správně, a proč. Na počítání si vezmi papír. Na konci zkus test celý znovu – dokud nebudeš mít všechno.
15. Tahák na jednu stranu
Sčítání a odčítání
- Čárka pod čárku, chybějící místa doplň nulami: 12,50 + 3,78 = 16,28 · 7,00 − 2,35 = 4,65.
- Odhad: 12,5 + 3,78 je asi 16.
Násobení
- Násob bez čárek, desetinná místa obou činitelů sečti: 2,4 · 1,3 → 24 · 13 = 312 → 3,12 · 0,3 · 0,2 = 0,06 · 1,25 · 0,4 = 0,500 = 0,5.
- Násobíš číslem menším než 1 → výsledek se zmenší.
Posun čárky
- · 10, 100, 1 000 → doprava (3,45 · 100 = 345) · : 10, 100, 1 000 → doleva (3,45 : 100 = 0,0345).
- · 0,1 = : 10 (72 · 0,1 = 7,2) · · 0,01 = : 100 · : 0,1 = · 10 (7,2 : 0,1 = 72) · : 0,01 = · 100.
Dělení
- Celým číslem: čárku do výsledku, když ji přejdeš; dopisuj nuly: 7 : 4 = 1,75.
- Desetinným číslem: posuň čárku v děliteli i dělenci o stejně míst: 4,8 : 0,6 = 48 : 6 = 8 · 1,2 : 0,04 = 120 : 4 = 30 · 6 : 0,25 = 600 : 25 = 24.
- Zkouška: výsledek · dělitel = dělenec. Dělíš číslem menším než 1 → výsledek se zvětší.
Zaokrouhlování
- Rozhoduje jedna číslice hned za místem: 0–4 dolů, 5–9 nahoru. 3,846 ≈ 3,85 · 2,95 ≈ 3,0 · 0,449 ≈ 0,4 (ne 0,5).
Průměr
- Aritmetický = součet : počet. (12 + 15 + 9 + 14) : 4 = 12,5. Pozpátku: součet = průměr · počet.
- Vážený = (hodnota · váha + …) : součet vah. Známky 1 (3), 2 (1), 4 (2): 13 : 6 ≈ 2,17.
- Směs: 3 kg po 240 Kč + 2 kg po 140 Kč → 1 000 Kč : 5 kg = 200 Kč/kg (ne 190).
- Třída podle četností: 41 : 20 žáků = 2,05. Průměr leží vždy mezi nejmenší a největší hodnotou.