Matematika · Počítání se zlomky
Plus, krát, děleno – se zlomky
Půlka pizzy a třetina pizzy, tři čtvrtiny hrnku mouky, třetina cesty první den. Naučíš se zlomky sčítat, odčítat, násobit a dělit – a uvidíš, kde se v testu nejčastěji chybuje. Pak si vyzkoušej generátor příkladů a test.
Nejistíš se v krácení, rozšiřování nebo smíšených číslech? Mrkni nejdřív na Zlomky – základy.
1. Rychlé opakování
Bez těchhle pěti dovedností se se zlomky počítat nedá. Podrobně je najdeš na stránce Zlomky – základy.
| Co | Jak | Příklad |
|---|---|---|
| Krácení | čitatel i jmenovatel vydělím stejným číslem | 1218 = 23 (děleno 6) |
| Rozšiřování | čitatel i jmenovatel vynásobím stejným číslem | 34 = 912 (krát 3) |
| Smíšené → nepravý | celá část · jmenovatel + čitatel | 2 35 = 2·5 + 35 = 135 |
| Nepravý → smíšené | vydělím se zbytkem | 174 = 4 14 (17 : 4 = 4, zbytek 1) |
| Celé číslo jako zlomek | jmenovatel 1 | 3 = 31 |
Nejmenší společný násobek
Při sčítání budeš hledat nejmenší společný násobek jmenovatelů – nejmenší číslo, které je dělitelné oběma. Píše se n(4; 6). Jak se hledá, máš na stránce Dělitelnost a slovní úlohy.
n(4; 6) = 12 · n(3; 5) = 15 · n(8; 12) = 24 · n(5; 10) = 10
2. Sčítání a odčítání
Stejný jmenovatel
Jmenovatel říká, na jaké díly je celek rozdělený. Když jsou díly stejné, prostě je sečteš.
27 + 37 = 2 + 37 = 57
79 − 49 = 39 = 13 (zkrátit!)
Různý jmenovatel
Půlku a třetinu nejde sečíst „jen tak“ – jsou to různě velké díly. Nejdřív oba zlomky rozšiř tak, aby měly stejný jmenovatel. Nejlepší je nejmenší společný násobek jmenovatelů.
Plná čára = původní díly (poloviny, třetiny). Čárkovaně = šestiny. Až když jsou oba zlomky v šestinách, dají se sečíst.
a) 12 + 13
n(2; 3) = 6
12 + 13 = 1·32·3 + 1·23·2 = 36 + 26 = 56
b) 56 − 38
n(6; 8) = 24
56 − 38 = 2024 − 924 = 1124
c) 34 + 56
n(4; 6) = 12
34 + 56 = 912 + 1012 = 1912 = 1 712
Vyšel nepravý zlomek (čitatel větší než jmenovatel) – převeď ho na smíšené číslo: 19 : 12 = 1, zbytek 7.
d) 710 − 16
n(10; 6) = 30
710 − 16 = 2130 − 530 = 1630 = 815
Na konci vždycky zkontroluj, jestli jde výsledek zkrátit. 16 i 30 jsou sudá → děl 2.
Zlomek a celé číslo
3 + 25 = 3 25 · 1 − 38 = 88 − 38 = 58
Celé číslo napiš jako zlomek se stejným jmenovatelem: 1 = 88, 3 = 124.
3. Sčítání a odčítání smíšených čísel
a) 2 13 + 1 34
2 13 = 73, 1 34 = 74, n(3; 4) = 12
73 + 74 = 2812 + 2112 = 4912 = 4 112
U sčítání jde i zkratka: celé zvlášť (2 + 1 = 3), zlomky zvlášť (13 + 34 = 1312 = 1 112), pak sečti: 3 + 1 112 = 4 112.
b) 3 14 − 1 23
3 14 = 134, 1 23 = 53, n(4; 3) = 12
134 − 53 = 3912 − 2012 = 1912 = 1 712
Tady by zkratka „celé zvlášť“ zlobila: 14 − 23 vyjde záporně. S nepravými zlomky se nic takového nestane.
c) 5 − 2 38
5 = 408, 2 38 = 198
408 − 198 = 218 = 2 58
4. Násobení
Násobení je se zlomky nejjednodušší. Společný jmenovatel tu nehledáš.
23 · 45 = 2·43·5 = 815
Krať křížem – ještě před násobením
Čitatel jednoho zlomku a jmenovatel druhého můžeš vydělit stejným číslem. Počítáš pak s malými čísly a výsledek je rovnou zkrácený.
a) 49 · 38
4 a 8 krátím 4 → 1 a 2 · 3 a 9 krátím 3 → 1 a 3
49 · 38 = 13 · 12 = 16
Bez krácení: 1272 – a pak bys stejně musel krátit číslem 12.
b) 56 · 910
5 a 10 krátím 5 → 1 a 2 · 9 a 6 krátím 3 → 3 a 2
56 · 910 = 12 · 32 = 34
Zlomek krát celé číslo
38 · 4 = 38 · 41 = 32 · 11 = 32 = 1 12
23 z 18 = 23 · 18 = 2·183 = 12
„23 z 18“ znamená 23 · 18. Slovíčko z ve slovní úloze = násobení. Taky to jde po kouscích: třetina z 18 je 6, dvě třetiny jsou 12.
Smíšené číslo krát něco
a) 2 12 · 4
2 12 · 4 = 52 · 41 = 51 · 21 = 10
Kontrola: dvě a půl pizzy čtyřikrát = 8 celých + 4 půlky = 10.
b) 1 12 · 2 23
1 12 · 2 23 = 32 · 83 = 11 · 41 = 4
Krátil jsem křížem: 3 a 3 číslem 3, 8 a 2 číslem 2.
5. Převrácený zlomek a dělení
Převrácený zlomek
Převrácený zlomek dostaneš, když prohodíš čitatel a jmenovatel. Zlomek a jeho převrácený dají vynásobené vždycky 1.
| Číslo | Převrácené | Kontrola |
|---|---|---|
| 34 | 43 | 34 · 43 = 1 |
| 5 = 51 | 15 | 5 · 15 = 1 |
| 17 | 71 = 7 | 17 · 7 = 1 |
| 2 13 = 73 | 37 | 73 · 37 = 1 |
Smíšené číslo nejdřív převeď na nepravý zlomek, teprve pak převracej. Převrácené k 2 13 není 2 31. Nula převrácené číslo nemá – nulou se dělit nedá.
Dělení
ab : cd = ab · dc
a) 23 : 45
23 : 45 = 23 · 54 = 13 · 52 = 56
Po převrácení zase krátíš křížem (2 a 4 číslem 2).
b) 34 : 3
34 : 3 = 34 · 13 = 14 · 11 = 14
Jinak: dělit celým číslem = násobit jím jmenovatel: 34 : 3 = 34·3 = 312 = 14. Nebo když to jde, vyděl čitatel: 3 : 3 = 1 → 14.
c) 6 : 34 (kolik lahví po 34 l naplníš ze 6 l?)
6 : 34 = 6 · 43 = 6·43 = 243 = 8
d) 2 14 : 1 12
2 14 : 1 12 = 94 : 32 = 94 · 23 = 32 · 11 = 32 = 1 12
6. Složený zlomek
Složený zlomek má v čitateli nebo ve jmenovateli zase zlomek. Hlavní zlomková čára je ta nejdelší – a ta znamená dělení.
Na tvar a·db·c si pamatuj: vnější krát vnější lomeno vnitřní krát vnitřní. Vnější čísla jsou úplně nahoře a úplně dole (a, d), vnitřní u hlavní čáry (b, c).
a) 3498
3498 = 34 : 98 = 34 · 89 = 11 · 23 = 23
b) 245 a 5610
245 = 2 : 45 = 2 · 54 = 104 = 52 = 2 12
5610 = 56 : 10 = 56 · 110 = 16 · 12 = 112
Pozor, kde je hlavní čára. Číslo 2 nad čárou je dělenec, číslo 10 pod čárou dělitel.
c) 12 + 141 − 16
Nahoře: 12 + 14 = 24 + 14 = 34 · Dole: 1 − 16 = 56
3456 = 34 · 65 = 32 · 35 = 910
Hlavní zlomková čára funguje jako závorky: nejdřív spočítej celý čitatel a celý jmenovatel, pak teprve děl.
7. Pořadí operací
Se zlomky platí stejné pořadí jako s celými čísly.
a) 12 + 12 · 23
1. Násobení: 12 · 23 = 13
2. Sčítání: 12 + 13 = 36 + 26 = 56
Kdybys sčítal první: (12 + 12) · 23 = 23. Špatně – násobení má přednost.
b) (34 − 12) : 58
1. Závorka: 34 − 12 = 34 − 24 = 14
2. Dělení: 14 : 58 = 14 · 85 = 11 · 25 = 25
c) 23 : 49 · 12
1. Zleva dělení: 23 : 49 = 23 · 94 = 11 · 32 = 32
2. Pak násobení: 32 · 12 = 34
Kdybys začal vpravo, vyšlo by 23 : 29 = 3. To je špatně – násobení a dělení jdou zleva doprava.
8. Záporné zlomky
Se zápornými zlomky platí stejná pravidla pro znaménka jako u celých čísel. Pokud si je potřebuješ připomenout, mrkni na Celá čísla.
−34 = −34 = 3−4
Obvykle se minus píše před zlomek. Záporný zlomek za znaménkem operace dej do závorky: 23 − (−14).
a) −23 + 14
−23 + 14 = −812 + 312 = −8 + 312 = −512
b) −12 − (−34)
Odečíst záporné = přičíst opačné:
−12 + 34 = −24 + 34 = 14
c) (−35) · (−109)
Znaménko: minus krát minus = plus.
35 · 109 = 11 · 23 = 23
d) 34 : (−98)
Znaménko: plus děleno minus = minus.
34 : 98 = 34 · 89 = 11 · 23 = 23 → výsledek −23
9. Slovní úlohy
„z“ = krát
34 z 20 → 34 · 20 = 15
12 ze 23 → 12 · 23 = 13
„kolik zbylo“ = 1 − …
Celek je 1. Odečti, co se snědlo, utratilo, ušlo.
1 − 38 = 58
Část z části
Ve třídě je 24 žáků. 23 z nich jsou dívky. 34 dívek chodí na volejbal. Jaká část třídy chodí na volejbal? Kolik je to žáků?
Část třídy: 34 · 23 = 12 · 11 = 12
Počet: 12 · 24 = 12
Na volejbal chodí polovina třídy, 12 dívek.
Kontrola po krocích: dívek je 23 · 24 = 16, na volejbal 34 · 16 = 12.
Kolik zbylo
Tom snědl 38 pizzy, Eva 14 pizzy. Kolik pizzy zbylo?
1 − 38 − 14 = 88 − 38 − 28 = 38
Zbyly 38 pizzy.
Recept
Na 4 porce palačinek potřebuješ 2 12 hrnku mouky. Kolik mouky potřebuješ na 6 porcí?
Na 1 porci: 2 12 : 4 = 52 · 14 = 58 hrnku
Na 6 porcí: 58 · 6 = 308 = 154 = 3 34 hrnku
Kratší cesta: 6 porcí je 64 = 32 původního receptu → 52 · 32 = 154.
Cesta – část ze zbytku
Turisté ušli první den 13 cesty, druhý den 25 zbytku. Třetí den jim zbývalo 24 km. Jak dlouhá byla celá cesta?
Zbytek po 1. dni: 1 − 13 = 23
2. den: 25 · 23 = 415 cesty
3. den: 1 − 13 − 415 = 1515 − 515 − 415 = 615 = 25 cesty
25 cesty je 24 km → celá cesta: 24 : 25 = 24 · 52 = 60 km
Kontrola: 1. den 13 · 60 = 20 km, zbývá 40 km, 2. den 25 · 40 = 16 km, zbývá 24 km. Sedí.
Kolikrát se vejde
Kolik sklenic po 14 l naplníš z 1 12 l džusu?
1 12 : 14 = 32 · 41 = 31 · 21 = 6
Naplníš 6 sklenic.
10. Typické chyby
Sčítání čitatelů i jmenovatelů
Špatně: 12 + 13 = 25 Správně: 36 + 26 = 56
25 je dokonce méně než 12 – přidal jsi něco a ubylo to? Nesmysl.
Převrácení prvního zlomku při dělení
Špatně: 23 : 45 = 32 · 45 = 65 Správně: 23 · 54 = 56
Převrací se jen dělitel – to, čím dělíš (druhé číslo).
Smíšené číslo krát celé číslo – jen celá část
Špatně: 2 12 · 4 = 8 12 Správně: 52 · 4 = 10
Čtyřikrát se musí vzít celá část i zlomek: 4 · 2 = 8 a 4 · 12 = 2, dohromady 10.
Celým číslem násobíš i jmenovatel
Špatně: 35 · 2 = 610 Správně: 35 · 2 = 65 = 1 15
610 = 35 – vyšlo ti stejné číslo jako na začátku, jako bys násobil jedničkou.
Odečítání od celého čísla
Špatně: 3 − 14 = 24 Správně: 124 − 14 = 114 = 2 34
Krácení v součtu
Špatně: 4 + 64 = 6 („škrtnu čtyřky“) Správně: 4 + 64 = 104 = 52
Krátit smíš jen součin, ne součet. Nejdřív sečti, pak krať.
Nezkrácený výsledek
Neúplně: 1630 Hotovo: 815
V testu se výsledek bere jako hotový, až když je v základním tvaru.
11. Generátor příkladů
Vyber operaci a úroveň. Spočítej příklad na papír a výsledek zapiš jako zlomek. Nezkrácený výsledek uznám, ale upozorním tě. Když nevíš, klikni na „Ukázat postup“.
…
Celou část vyplň jen u smíšeného čísla, jinak ji nech prázdnou. Celé číslo napiš jen do pole „celé“. Minus patří před čitatel nebo před celou část.
Zkus úroveň „se smíšenými čísly“ a násobení. Hodně příkladů je typu smíšené číslo krát celé číslo – přesně tam se v testech chybuje.
12. Otázky a odpovědi
Zkus si nejdřív odpovědět sám. Pak klikni na otázku a podívej se na odpověď.
Proč nemůžu sečíst zvlášť čitatele a zvlášť jmenovatele?
Jmenovatel neříká „kolik“, ale „jak velké díly“. Ten se nesčítá.
Zkouška: 12 + 12 by pak bylo 24 = 12. Dvě půlky ale dají celek: 12 + 12 = 22 = 1.
Kolik je 16 + 38?
n(6; 8) = 24 → 424 + 924 = 1324
13 je prvočíslo a 24 jím dělitelné není, takže zkrátit nejde.
Musím vždycky hledat nejmenší společný násobek?
Ne. Stačí jakýkoli společný násobek, třeba součin jmenovatelů.
S nejmenším ale počítáš s menšími čísly a na konci méně krátíš.
Kolik je 1 23 + 2 12?
53 + 52 = 106 + 156 = 256 = 4 16
Zkratka: 1 + 2 = 3, 23 + 12 = 76 = 1 16, celkem 4 16.
Kolik je 56 · 310?
Krátím 5 a 10 číslem 5, 3 a 6 číslem 3: 12 · 12 = 14
Bez krácení: 1560 = 14.
Kolik jsou 34 z 20?
34 · 20 = 15
Čtvrtina z 20 je 5, tři čtvrtiny jsou 15.
Jaké číslo je převrácené k 2 12?
2 12 = 52 → převrácené je 25
Kontrola: 52 · 25 = 1.
Proč 6 : 12 vyjde 12, a ne 3?
Ptáš se, kolik polovin se vejde do 6. Do každé celé se vejdou dvě → 12.
6 : 12 = 6 · 2 = 12. Výsledek 3 by byl 6 · 12 – to je násobení, ne dělení.
Kolik je 2349?
23 : 49 = 23 · 94 = 11 · 32 = 32 = 1 12
Vnější krát vnější lomeno vnitřní krát vnitřní: 2·93·4 = 1812 = 32.
Kolik je −34 + 16?
−912 + 212 = −712
Jako u celých čísel: −9 + 2 = −7.
V láhvi bylo 34 l vody. Vypil jsem 23 obsahu. Kolik litrů jsem vypil?
23 · 34 = 11 · 12 = 12 l
„23 obsahu“ = 23 z 34 l → násobení.
13. Dopiš do sešitu
Tohle si opiš do sešitu. Stačí to na celou kapitolu.
Stejný jmenovatel: sečtu (odečtu) čitatele, jmenovatel opíšu. 27 + 37 = 57
Různý jmenovatel: společný jmenovatel = n(b; d), rozšířím, pak sečtu. 12 + 13 = 36 + 26 = 56
Smíšená čísla převedu na nepravé zlomky: 2 13 = 73.
Násobení: ab · cd = a·cb·d – nejdřív krátím křížem. 49 · 38 = 13 · 12 = 16
Celým číslem násobím jen čitatel: 35 · 2 = 65. „23 z 18“ = 23 · 18 = 12.
Převrácený zlomek: prohodím čitatel a jmenovatel. 34 → 43, 5 → 15. Součin je 1.
Dělení: ab : cd = ab · dc – převracím jen druhý zlomek. 23 : 45 = 23 · 54 = 56
Složený zlomek = dělení: abcd = a·db·c
Pořadí: závorky → násobení a dělení zleva → sčítání a odčítání zleva.
Záporné zlomky: −34 = −34 = 3−4; znaménka jako u celých čísel.
Výsledek vždy zkrátím a nepravý zlomek převedu na smíšené číslo.
14. Test
Klikni na odpověď. Hned uvidíš, jestli je správně, a proč. Počítej na papír, kalkulačku nepotřebuješ. Zlomky jsou v testu psané s lomítkem: 3/4 je 34 a 2 1/3 je 2 13. Na konci zkus test celý znovu – dokud nebudeš mít všechno.
15. Tahák na jednu stranu
Základy (viz Zlomky – základy)
- Krácení: 1218 = 23 · rozšiřování: 34 = 912 · 2 35 = 135 · 174 = 4 14
- Výsledek vždy zkrať. Nepravý zlomek převeď na smíšené číslo.
Sčítání a odčítání
- Stejný jmenovatel: čitatele sečti, jmenovatel opiš.
- Různý: společný jmenovatel n(b; d) → rozšiř → sečti. 34 + 56 = 912 + 1012 = 1912 = 1 712
- Smíšená čísla → nepravé zlomky. 3 14 − 1 23 = 3912 − 2012 = 1 712
- NIKDY 12 + 13 = 25. Správně 56.
Násobení
- Čitatel · čitatel, jmenovatel · jmenovatel. Před násobením krať křížem.
- Celé číslo násobí jen čitatel: 38 · 4 = 32. „z“ = krát: 23 z 18 = 12.
- 2 12 · 4 = 52 · 4 = 10 (ne 8 12).
Dělení a složený zlomek
- Převrácený: 34 → 43, 5 → 15, 2 13 = 73 → 37. Nula převrácené nemá.
- ab : cd = ab · dc – převrať jen DRUHÝ. 23 : 45 = 56
- Složený zlomek = dělení: vnější · vnější lomeno vnitřní · vnitřní. 3498 = 2436 = 23
Pořadí, záporné zlomky, slovní úlohy
- Závorky → · a : zleva → + a − zleva. 12 + 12 · 23 = 56
- −34 = −34 = 3−4. Znaménka jako u celých čísel: −23 + 14 = −512.
- Kolik zbylo = 1 − části. „25 zbytku“ = 25 · zbytek. Znám část v km → celek = km : část (24 : 25 = 60).