Matematika · Zlomky – základy
Kousek po kousku
Pizza, čokoláda, cesta do školy – všude potkáš části celku. Naučíš se, co zlomek znamená, jak ho zkrátit a rozšířit, jak zlomky porovnat a převést na desetinné číslo. Pak si pohraješ se zlomkovou zdí a vyzkoušíš test.
Na krácení budeš potřebovat největší společný dělitel a na porovnávání nejmenší společný násobek. Zopakuj si je ve Slovních úlohách na dělitelnost.
1. Co je zlomek
Celek – pizzu, čokoládu, pruh papíru – rozdělíš na stejné díly. Zlomek říká, kolik takových dílů bereš.
Pizza
8 stejných dílů, snědl jsi 3 → snědl jsi 38 pizzy. Zbylo 58.
Čokoláda
3 · 4 = 12 kostiček, 5 jsi snědl → 512 čokolády.
Pruh
Pruh je rozdělený na 5 stejných dílů, vybarvené jsou 2 → 25 pruhu.
Jak zlomky čteme
12 jedna polovina · 13 jedna třetina · 14 jedna čtvrtina · 35 tři pětiny · 58 pět osmin · 710 sedm desetin · 3100 tři setiny
- 44 = 1 – vzal jsi všechny díly, celou pizzu.
- 04 = 0 – nevzal jsi nic.
- Jmenovatel nikdy nesmí být 0 – celek nejde rozdělit na nula dílů.
2. Zlomek jako dělení a zlomek z čísla
Tři pizzy rozdělíš spravedlivě mezi čtyři kamarády. Každý dostane 3 : 4 = 34 pizzy. Jako desetinné číslo 3 : 4 = 0,75.
Proto taky 124 = 12 : 4 = 3 a 51 = 5. Každé celé číslo jde zapsat jako zlomek se jmenovatelem 1.
Zlomek z čísla
a) Kolik je 25 ze 40?
15 ze 40: 40 : 5 = 8
25 ze 40: 8 · 2 = 16
Odpověď: 25 ze 40 je 16.
b) Kolik minut jsou 34 hodiny?
1 h = 60 min
60 : 4 = 15 min (čtvrthodina)
15 · 3 = 45 min
Odpověď: 34 hodiny je 45 minut.
c) Opačně: 34 čokolády je 18 kostiček. Kolik kostiček má celá čokoláda?
3 díly … 18 kostiček
1 díl (14): 18 : 3 = 6 kostiček
4 díly (celá): 6 · 4 = 24 kostiček
Odpověď: Celá čokoláda má 24 kostiček.
3. Zlomky na číselné ose
- Bod A: 3 dílky ze 4 → 34.
- Bod B: 5 dílků → 54. Je až za jedničkou: 54 = 1 14.
- Bod C: 24 leží na stejném místě jako 12. Proto 24 = 12.
Zakresli 23 a 43.
Jmenovatel 3 → úsek 0 až 1 rozdělím na 3 dílky.
23: od nuly 2 dílky.
43: od nuly 4 dílky – 3 dílky je jednička, ještě 1 dílek za ni.
4. Rozšiřování a krácení
Stejnou část celku jde zapsat víc zlomky. Podívej se na zlomkovou zeď – vybarvená část je pořád stejně dlouhá, mění se jen počet dílků:
23 = 46 = 812 – rovnají se.
Rozšiřování
Rozšiř 35 na zlomek se jmenovatelem 20.
Čím násobím jmenovatel? 20 : 5 = 4
35 = 3 · 45 · 4 = 1220
Krácení a základní tvar
Zlomek je v základním tvaru, když už nejde zkrátit – čitatel a jmenovatel nemají společného dělitele kromě 1 (jsou nesoudělné). Třeba 34, 57, 916.
Postupně
1824 → děl 2 → 912
912 → děl 3 → 34
Najednou
D(18, 24) = 6
1824 = 18 : 624 : 6 = 34
Zkrať 4256 na základní tvar.
42 = 2 · 3 · 7, 56 = 2 · 2 · 2 · 7
D(42, 56) = 2 · 7 = 14
4256 = 42 : 1456 : 14 = 34
Když krátíš největším společným dělitelem, máš základní tvar hned. Jak D najít, najdeš ve Slovních úlohách na dělitelnost.
Rovnají se dva zlomky?
Zkrať oba na základní tvar. Když vyjde stejný zlomek, rovnají se. Kontrola „křížem“: 46 a 69 → 4 · 9 = 36, 6 · 6 = 36 → 46 = 69 (oba jsou 23).
5. Porovnávání zlomků
Stejný jmenovatel
Dílky jsou stejně velké. Víc dílků = víc.
59 < 79
(5 < 7)
Stejný čitatel
Stejný počet dílků. Menší jmenovatel = větší dílky.
35 > 37
(pětiny jsou větší než sedminy)
Různé čitatele i jmenovatele
a) Porovnej 56 a 79.
n(6, 9) = 18
56 = 1518 (· 3), 79 = 1418 (· 2)
15 > 14 → 56 > 79
b) Seřaď od nejmenšího: 23, 34, 58, 712.
n(3, 4, 8, 12) = 24
23 = 1624, 34 = 1824, 58 = 1524, 712 = 1424
14 < 15 < 16 < 18
Odpověď: 712 < 58 < 23 < 34
6. Vyzkoušej si: zlomková zeď a pizza
Nastav čitatel a jmenovatel. Pak zlomek rozšiř nebo zkrať. Vybarvená plocha zůstává stejná, mění se jen počet dílků.
Porovnej dva zlomky
Nastav dva zlomky (jmenovatel 1 až 12). Pruhy jsou stejně dlouhé – hned vidíš, který zlomek je větší. Pod nimi je výpočet přes společný jmenovatel.
Horní zlomek
Dolní zlomek
Zkus 34 a 68 – pruhy končí na stejném místě. Pak 23 a 35: kdo by to řekl od oka?
7. Pravé a nepravé zlomky, smíšená čísla
Pravý zlomek
Čitatel je menší než jmenovatel. Zlomek je menší než 1: 34, 58, 12.
Nepravý zlomek
Čitatel je větší nebo roven jmenovateli. Zlomek je aspoň 1: 74, 53, 66.
Nepravý zlomek jde zapsat jako smíšené číslo – celá čísla a k tomu pravý zlomek. 1 34 znamená 1 + 34, čte se „jedna celá tři čtvrtiny“.
74: 4 čtvrtiny dají celou pizzu, zbydou 3 čtvrtiny → 74 = 1 34.
Nepravý → smíšené
175 = 17 : 5
17 : 5 = 3, zbytek 2
175 = 3 25
Smíšené → nepravý
2 34
celky · jmenovatel + čitatel
2 · 4 + 3 = 11 → 114
8. Zlomky a desetinná čísla
Jmenovatel 10, 100, 1 000
310 = 0,3 · 47100 = 0,47 · 7100 = 0,07 · 1251000 = 0,125
Rozšířit na 10 nebo 100
34 = 75100 = 0,75 25 = 410 = 0,4 720 = 35100 = 0,35 325 = 12100 = 0,12
Vydělit
Když rozšířit nejde, vyděl čitatele jmenovatelem: 38 = 3 : 8 = 0,375.
Někdy dělení nikdy neskončí: 13 = 1 : 3 = 0,333… Takové číslo se jmenuje periodické a píše se 0,3. Stejně 23 = 0,666… V praxi ho zaokrouhlíš, třeba 23 ≈ 0,67. Víc se periodickými čísly zatím zabývat nebudeme.
Desetinné číslo → zlomek
0,45 = 45100 = 920 (krátím 5)
2,5 = 2510 = 52 = 2 12
0,125 = 1251000 = 18 (krátím 125)
9. Slovní úlohy krok za krokem
Postup: co je celek – vyděl jmenovatelem – vynásob čitatelem – dočti otázku – odpověz větou.
a) Třída má 28 žáků, 37 z nich jsou dívky. Kolik je dívek a kolik chlapců?
celek: 28 žáků
17: 28 : 7 = 4
dívky 37: 4 · 3 = 12
chlapci: 28 − 12 = 16 (nebo 47: 4 · 4 = 16)
Odpověď: Ve třídě je 12 dívek a 16 chlapců.
b) Cesta na chatu měří 24 km. Zatím ujeli 58 cesty. Kolik km jim zbývá?
18: 24 : 8 = 3 km
ujeli 58: 3 · 5 = 15 km
zbývá: 24 − 15 = 9 km (to jsou 38 cesty)
Odpověď: Zbývá jim 9 km.
c) Petr měl 60 Kč. 14 dal za sešit a 13 za pití. Kolik mu zbylo?
sešit: 60 : 4 = 15 Kč
pití: 60 : 3 = 20 Kč
zbylo: 60 − 15 − 20 = 25 Kč
Odpověď: Petrovi zbylo 25 Kč. Obě části počítáš ze stejného celku 60 Kč.
d) Ema přečetla 25 knihy, to je 48 stran. Kolik stran má kniha?
25 … 48 stran
15: 48 : 2 = 24 stran
celá kniha 55: 24 · 5 = 120 stran
Odpověď: Kniha má 120 stran.
e) Adam snědl 38 pizzy, Bára 13 stejné pizzy. Kdo snědl víc?
n(8, 3) = 24
38 = 924, 13 = 824
9 > 8
Odpověď: Víc snědl Adam.
10. Typické chyby
Porovnej 18 a 14
Špatně: 1/8 > 1/4, protože 8 > 4
Správně: 18 < 14
Větší jmenovatel = víc dílků = menší dílky. Osmina pizzy je menší než čtvrtina.
Zkrať 2 + 52 + 7
Špatně: škrtnu dvojky → 5/7
Správně: 2 + 52 + 7 = 79
Krátit jde jen součin. Sčítance nikdy neškrtej – nejdřív sečti.
Převeď 2 13 na nepravý zlomek
Špatně: 2 · 1 + 3 = 5 → 5/3 nebo 2 · 3 + 1 = 7
Správně: 2 · 3 + 13 = 73
Celé číslo násobíš jmenovatelem a jmenovatel pak zase napíšeš pod čáru. Samotné 7 je sedm celých, ne 73.
Kolik je 25 ze 40?
Špatně: 40 : 2 · 5 = 100
Správně: 40 : 5 · 2 = 16
Dělíš jmenovatelem (na kolik dílů), násobíš čitatelem (kolik dílů beru).
Rozšiř 23
Špatně: přičtu 1 → 3/4
Správně: vynásobím 2 → 46
34 je víc než 23. Rozšiřovat se smí jen násobením.
Převeď 7100 na desetinné číslo
Špatně: 0,7
Správně: 0,07
Setiny = dvě desetinná místa. 0,7 je 710.
11. Otázky a odpovědi
Zkus si nejdřív odpovědět sám. Pak klikni na otázku a podívej se na odpověď.
Co říká čitatel a co jmenovatel?
Jmenovatel – na kolik stejných dílů je celek rozdělený. Čitatel – kolik dílů beru.
58: celek je rozdělený na 8 dílů, beru 5.
Kolik jsou tři pětiny ze 45?
27
45 : 5 = 9, 9 · 3 = 27.
Proč je jedna osmina menší než jedna čtvrtina?
Celek rozdělený na 8 dílů má menší dílky než celek rozdělený na 4.
18 = 0,125, 14 = 0,25. Navíc 14 = 28.
Zkrať zlomek 36/48 na základní tvar.
3648 = 34
D(36, 48) = 12. 36 : 12 = 3, 48 : 12 = 4.
Rozšiř 5/6 na zlomek se jmenovatelem 24.
56 = 2024
24 : 6 = 4, takže čitatel i jmenovatel násobíš 4: 5 · 4 = 20.
Který zlomek je větší: 5/6, nebo 7/9?
56 > 79
n(6, 9) = 18: 56 = 1518, 79 = 1418.
Převeď 3 2/5 na nepravý zlomek a 23/4 na smíšené číslo.
3 25 = 175, 234 = 5 34
3 · 5 + 2 = 17. 23 : 4 = 5, zbytek 3.
Zapiš 0,125 jako zlomek v základním tvaru.
0,125 = 1251000 = 18
Tři desetinná místa → jmenovatel 1 000. D(125, 1 000) = 125.
Jaké desetinné číslo je 2/3?
2 : 3 = 0,666… – periodické číslo, zaokrouhleně 0,67.
Dělení nikdy neskončí, šestka se pořád opakuje.
Může být zlomek větší než 1? A čemu se rovná 6/6 a 0/6?
Ano, nepravý zlomek, třeba 74 = 1 34. 66 = 1, 06 = 0.
Jen jmenovatel nesmí být 0 – nulou dělit nejde.
Kniha má 160 stran. Jana přečetla 3/8. Kolik stran jí zbývá?
100 stran.
160 : 8 = 20, přečetla 20 · 3 = 60 stran, zbývá 160 − 60 = 100 (to je 58 knihy).
12. Dopiš do sešitu
Tohle si opiš do sešitu. Stačí to na celou kapitolu.
34 = 3 : 4 = 0,75 · 44 = 1 · 04 = 0
Zlomek z čísla: vydělím jmenovatelem, vynásobím čitatelem. 25 ze 40 = 40 : 5 · 2 = 16.
Rozšiřování: čitatel i jmenovatel · stejné číslo: 35 = 1220.
Krácení: čitatel i jmenovatel : stejné číslo: 1824 = 34 (D = 6).
Základní tvar – už nejde krátit (D = 1).
Porovnávání: stejný jmenovatel → větší čitatel je větší. Stejný čitatel → větší jmenovatel je menší. Jinak společný jmenovatel n: 56 = 1518 > 1418 = 79.
Pravý (čitatel < jmenovatel) < 1, nepravý (čitatel ≥ jmenovatel) ≥ 1.
175 = 3 25 (17 : 5 = 3 zb. 2) · 2 34 = 114 (2 · 4 + 3)
Desetinná čísla: 7100 = 0,07 · 25 = 410 = 0,4 · 38 = 3 : 8 = 0,375 · 13 = 0,333… (periodické)
0,45 = 45100 = 920
13. Test
Klikni na odpověď. Hned uvidíš, jestli je správně, a proč. Na počítání si vezmi papír. V testu píšeme zlomky s lomítkem: 3/4 je 34, 2 1/3 je 2 13.
14. Tahák na jednu stranu
Co je zlomek
- 34: čitatel 3 / jmenovatel 4 · čára = dělení: 34 = 3 : 4 = 0,75 · jmenovatel ≠ 0
- Zlomek z čísla: vyděl jmenovatelem, vynásob čitatelem → 25 ze 40 = 16 · 34 h = 45 min
- Z části celek: 34 je 18 → 14 = 6 → celek 24
Rozšiřování a krácení
- Rozšířit = násobit stejným číslem: 23 = 46 = 812 · krátit = : stejné číslo
- Kráť největším společným dělitelem → základní tvar: 4256 (D = 14) = 34
- Sčítance nekrať! 2 + 52 + 7 = 79
Porovnávání
- Stejný jmenovatel: 59 < 79 · stejný čitatel: 35 > 37
- Jinak společný jmenovatel n: 56 = 1518 > 1418 = 79
Smíšená a desetinná čísla
- Pravý < 1, nepravý ≥ 1 · 175 = 3 25 · 2 34 = 114 (2 · 4 + 3)
- 7100 = 0,07 · 34 = 75100 = 0,75 · 38 = 0,375 · 13 = 0,333…
- 0,45 = 45100 = 920 · 2,5 = 52 = 2 12