Matematika · Cvičení z matematiky 2. 10. · Celá čísla – opakování
Pod nulou a nad nulou
Mráz −8 °C, dluh 200 Kč, druhé podzemní patro. Záporná čísla potkáváš denně. Zopakuješ si, jak je porovnat, sčítat, odčítat, násobit a dělit – a kde se v testu nejčastěji chybuje. Pak si vyzkoušej skoky po číselné ose a test.
Potřebuješ zopakovat desetinná čísla? Mrkni na Desetinná čísla a průměr.
1. Pravidla, která musíš umět
Na nich stojí všechno ostatní. Podrobně je to vysvětlené níž, tady je to nejdůležitější pohromadě.
| Znaménka | Dá | Příklady |
|---|---|---|
| + a + | + | 5 + (+3) = 5 + 3 (+3) · (+4) = +12 (+12) : (+4) = +3 |
| − a − | + | 5 − (−3) = 5 + 3 (−3) · (−4) = +12 (−12) : (−4) = +3 |
| + a − | − | 5 + (−3) = 5 − 3 (+3) · (−4) = −12 (+12) : (−4) = −3 |
| − a + | − | 5 − (+3) = 5 − 3 (−3) · (+4) = −12 (−12) : (+4) = −3 |
Pozor: tohle pravidlo platí pro dvě znaménka vedle sebe a pro násobení a dělení. U obyčejného sčítání (−7 + 3) to neplatí – tam se od většího čísla odečte menší a výsledek má znaménko většího: −7 + 3 = −4.
Násobení a dělení mají přednost
2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14
ne (2 + 3) · 4 = 20
18 − 6 · (−2) = 18 + 12 = 30
Stejná přednost → zleva doprava
20 − 8 + 2 = 12 + 2 = 14 ne 20 − 10
24 : 4 · 2 = 6 · 2 = 12 ne 24 : 8
48 : 6 : 2 = 8 : 2 = 4
Závorky se počítají zevnitř ven: v hranaté [ ] nejdřív kulatá ( ). Uvnitř závorky platí stejné pořadí: 10 − [2 + 3 · (1 − 5)] = 10 − [2 + 3 · (−4)] = 10 − [2 − 12] = 10 − (−10) = 20.
20 − (6 − 9 + 4) = 20 − 6 + 9 − 4 = 19 nebo nejdřív závorku: 20 − 1 = 19
Odčítám větší od menšího → vyjde mínus
19 − 26 = −7 ne 7
Od většího odečtu menší: 26 − 19 = 7.
Větší bylo 26 se znaménkem − → −7.
Totéž se záporným na začátku
−16 + 9 = −7 (větší je 16, má −)
−5 + 12 = 7 (větší je 12, má +)
−8 − 5 = −13 (oboje mínus → sečtu a dám −)
Pomůcka s penězi: mám 19 Kč a zaplatím 26 Kč → chybí mi 7 Kč → −7. Než napíšeš výsledek, zeptej se: Je větší to, co mám, nebo to, co odčítám?
−12 − (−4) · 3 + (−20) : 5 = −12 − (−12) + (−4) = −12 + 12 − 4 = −4
Trénovat dlouhé příklady můžeš v generátoru příkladů.
2. Kladná, záporná a nula
Celá čísla jsou přirozená čísla (1, 2, 3, …), nula a čísla k nim opačná (−1, −2, −3, …).
Kladná čísla
Větší než nula. Znaménko + se obvykle nepíše.
5 = +5, teplota +12 °C, na účtu 300 Kč.
Záporná čísla
Menší než nula. Znaménko − se psát musí.
−5, mráz −12 °C, dluh −300 Kč, 2. podzemní patro −2.
Číselná osa
Na ose je nula uprostřed. Kladná čísla jdou doprava, záporná doleva. Vzdálenost mezi sousedními čísly je vždycky stejná.
3. Porovnávání
Kladné a záporné
3 > −4
0 > −1 000
−2 < 1
Každé kladné číslo je větší než nula i než každé záporné.
Dvě záporná
−3 > −8
−15 < −5
−100 < −1
Mráz −3 °C je teplejší než −8 °C. Číslo −3 je blíž nule, tedy víc vpravo.
Seřaď od nejmenšího: 4, −7, 0, −2, 9, −12
1. Nejdřív záporná, od „nejdál vlevo“: −12, −7, −2
2. Pak nula: 0
3. Nakonec kladná: 4, 9
Výsledek: −12 < −7 < −2 < 0 < 4 < 9
Typická chyba: −12 > −7, protože 12 > 7 → −12 < −7. U záporných čísel je to obráceně: větší „číslo bez minusu“ znamená menší číslo.
4. Opačné číslo a absolutní hodnota
Opačné číslo
Leží na ose na druhé straně od nuly, ve stejné vzdálenosti. Změníš jen znaménko.
k 7 je opačné −7
k −7 je opačné 7
k 0 je opačné 0
Absolutní hodnota
Vzdálenost čísla od nuly na ose. Vzdálenost nemůže být záporná.
|7| = 7
|−7| = 7
|0| = 0
Zápis −(−6) znamená „opačné číslo k −6“, tedy 6.
5. Sčítání a odčítání
Na ose: přičíst kladné číslo = jdi doprava. Odečíst kladné číslo = jdi doleva.
Sčítání dvou čísel
Stejná znaménka
Sečti absolutní hodnoty, znaménko nech.
−4 + (−6) = −10
3 + 5 = 8
Různá znaménka
Od větší absolutní hodnoty odečti menší. Znaménko dostane výsledek podle čísla s větší absolutní hodnotou.
−9 + 4 = −5 (9 − 4 = 5, „vyhrálo“ −9)
9 + (−4) = 5
Odčítání = přičtení opačného čísla
a) 5 − (−3)
Opačné k −3 je 3.
5 − (−3) = 5 + 3 = 8
Na ose: odečíst záporné = jdi doprava. Ze 5 o 3 doprava → 8.
b) −2 − 7
−2 − 7 = −2 + (−7) = −9
Z −2 jdeš 7 dílků doleva → −9.
c) −6 + (−4) − (−10)
1. Uprav znaménka: −6 − 4 + 10
2. Zleva: −6 − 4 = −10
3. −10 + 10 = 0
Dvě znaménka za sebou
| Zápis | Zjednoduš na | Příklad |
|---|---|---|
| + (+ | + | 4 + (+2) = 4 + 2 = 6 |
| − (− | + | 4 − (−2) = 4 + 2 = 6 |
| + (− | − | 4 + (−2) = 4 − 2 = 2 |
| − (+ | − | 4 − (+2) = 4 − 2 = 2 |
Typická chyba: −4 − 6 = 10 („dvě minus dávají plus“) → −4 − 6 = −10. Tady nejsou dvě minus za sebou. Je to záporné číslo −4 a od něj odečítáš 6.
6. Skoky po číselné ose
Nastav startovní číslo, operaci a číslo, které přičítáš nebo odečítáš. Po stisku „Skoč“ uvidíš šipkou, kam se posuneš, a pravidlo, které platí.
Zkus: 2 − (−5) a pak 2 + 5. Skok vyjde stejně – odečíst −5 je totéž jako přičíst 5.
7. Násobení a dělení
Počítáš jako s kladnými čísly. Zvlášť pak určíš znaménko výsledku.
| Znaménka | Výsledek | Násobení | Dělení |
|---|---|---|---|
| + a + | + | 6 · 3 = 18 | 18 : 3 = 6 |
| − a − | + | (−6) · (−3) = 18 | (−18) : (−3) = 6 |
| + a − | − | 6 · (−3) = −18 | 18 : (−3) = −6 |
| − a + | − | (−6) · 3 = −18 | (−18) : 3 = −6 |
Víc činitelů najednou
Spočítej, kolik je mezi činiteli záporných čísel:
Sudý počet záporných
(2, 4, 6, …) → výsledek kladný
(−2) · (−3) · 5 = 30
2 záporná → +
Lichý počet záporných
(1, 3, 5, …) → výsledek záporný
(−2) · (−3) · (−5) = −30
3 záporná → −
Spočítej (−1) · 2 · (−3) · (−1) · 4
1. Záporná čísla: −1, −3, −1 → jsou 3, lichý počet → výsledek bude záporný
2. Bez znamének: 1 · 2 · 3 · 1 · 4 = 24
Výsledek: −24
Typická chyba: (−3) · (−4) = −12 → (−3) · (−4) = 12. Stejná znaménka = kladný výsledek. Pravidlo „menší minus vyhrává“ platí jen u sčítání, ne u násobení.
8. Pořadí operací a závorky
a) 18 − 6 · (−2)
1. Násobení: 6 · (−2) = −12
2. 18 − (−12) = 18 + 12 = 30
Kdybys počítal zleva (18 − 6) · (−2), vyšlo by −24. Špatně – násobení má přednost.
b) −2 · (5 − 8) + 12 : (−4)
1. Závorka: 5 − 8 = −3
2. Násobení: −2 · (−3) = 6
3. Dělení: 12 : (−4) = −3
4. Sčítání: 6 + (−3) = 3
c) (−24) : (−3) : (−2)
1. Zleva: (−24) : (−3) = 8
2. 8 : (−2) = −4
Dělení se počítá zleva doprava. Kdybys začal vpravo, (−3) : (−2) = 1,5 a (−24) : 1,5 = −16 – to je špatně.
9. Slovní úlohy
Rozdíl dvou hodnot počítej vždycky stejně: větší − menší (ta, co je na ose víc vpravo, minus ta vlevo).
Teplota
Ráno bylo −6 °C, odpoledne 4 °C. O kolik se oteplilo?
4 − (−6) = 4 + 6 = 10
Oteplilo se o 10 °C.
Ne o 2 °C! Z −6 na 0 je to 6 stupňů, z 0 na 4 další 4.
Nadmořská výška
Vrchol hory je ve výšce 2 450 m n. m. Dno jezera je 120 m pod hladinou moře (−120 m). Jaký je výškový rozdíl?
2 450 − (−120) = 2 450 + 120 = 2 570
Rozdíl je 2 570 m.
Účet a dluh
Na účtu bylo 350 Kč. Zaplatil jsi kartou 500 Kč, pak ti přišlo kapesné 400 Kč. Kolik je na účtu?
350 − 500 = −150 (dluh 150 Kč)
−150 + 400 = 250
Na účtu je 250 Kč.
Výtah
Přízemí je 0, podzemní patra jsou −1, −2, … Výtah stojí ve 4. patře, sjede o 6 pater dolů. Kde je?
4 − 6 = −2
Ve 2. podzemním patře.
Letopočty před naším letopočtem
Letopočty př. n. l. si můžeš představit jako záporná čísla. Je tu ale jedna past: rok 0 neexistuje. Hned po roce 1 př. n. l. následuje rok 1 n. l.
Každý rok je na ose úsek mezi dvěma čárkami. Rok 1 př. n. l. a rok 1 n. l. leží hned vedle sebe.
Kolik let uplynulo od roku 50 př. n. l. do roku 50 n. l.?
Jako na ose: 50 − (−50) = 100
Rok 0 ale chybí, proto odečti 1: 100 − 1 = 99
Uplynulo 99 let.
Kontrola po kouscích: od roku 50 př. n. l. do roku 1 př. n. l. je to 49 let. Z roku 1 př. n. l. do roku 1 n. l. je 1 rok. Z roku 1 n. l. do roku 50 n. l. 49 let. Celkem 49 + 1 + 49 = 99.
10. Otázky a odpovědi
Zkus si nejdřív odpovědět sám. Pak klikni na otázku a podívej se na odpověď.
Je nula kladné, nebo záporné číslo?
Ani jedno.
Nula odděluje na ose kladná čísla (vpravo) od záporných (vlevo). Opačné číslo k 0 je zase 0.
Které číslo je větší: −15, nebo −9?
−9 > −15
−9 leží na ose víc vpravo (blíž nule). Mráz −9 °C je teplejší než −15 °C.
Která čísla mají absolutní hodnotu 8?
8 a −8
Obě jsou od nuly vzdálená 8 dílků.
Kolik je −|−12| a kolik −(−12)?
−|−12| = −12 · −(−12) = 12
|−12| = 12, minus před tím zůstane → −12. Kdežto −(−12) je opačné číslo k −12, tedy 12.
Spočítej −8 − (−3) + (−5).
−8 + 3 − 5 = −5 − 5 = −10
− (− se změní na +, + (− na −. Pak počítej zleva.
Spočítej (−7) · (−8) a (−72) : 9.
(−7) · (−8) = 56 · (−72) : 9 = −8
Stejná znaménka → kladný výsledek. Různá znaménka → záporný.
Jaké znaménko má součin (−1) · (−1) · (−1) · … · (−1), kde je 15 činitelů −1?
Záporné, součin je −1.
15 záporných činitelů je lichý počet → výsledek je záporný. Bez znamének je to 1 · 1 · … · 1 = 1.
Spočítej −12 − (−4) · 3 + (−20) : 5.
−12 − (−12) + (−4) = −12 + 12 − 4 = −4
Nejdřív násobení a dělení: (−4) · 3 = −12, (−20) : 5 = −4. Pak zleva sčítání a odčítání.
Ve 22 h bylo −3 °C. Do rána se ochladilo o 7 °C. Kolik bylo ráno?
−3 − 7 = −10, ráno bylo −10 °C.
Ochladit = jít po teploměru dolů, tedy odečítat.
Potápěč je 18 m pod hladinou. Vystoupá o 11 m. V jaké je hloubce?
−18 + 11 = −7, je 7 m pod hladinou.
Vystoupat = jít nahoru, tedy přičítat.
Kolik let uplynulo od roku 20 př. n. l. do roku 30 n. l.?
20 + 30 − 1 = 49 let
Rok 0 neexistuje, proto ne 50. Po kouscích: 19 let (do 1 př. n. l.) + 1 rok (do 1 n. l.) + 29 let (do 30 n. l.) = 49 let.
11. Dopiš do sešitu
Tohle si opiš do sešitu. Stačí to na celé opakování.
Na číselné ose je větší číslo vpravo: −2 > −7, 0 > −1.
Opačné číslo: změním znaménko (5 ↔ −5, k 0 je opačná 0).
Absolutní hodnota = vzdálenost od nuly: |−5| = |5| = 5, |0| = 0.
Sčítání: stejná znaménka → sečtu, znaménko nechám (−4 + (−6) = −10).
Různá znaménka → odečtu menší abs. hodnotu od větší, znaménko podle větší (−9 + 4 = −5).
Odčítání = přičtení opačného: a − b = a + (−b), 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.
+ (+ → + · − (− → + · + (− → − · − (+ → −
Násobení a dělení: stejná znaménka → +, různá → −.
Sudý počet záporných činitelů → +, lichý → −. Nulou dělit nelze.
Pořadí: závorky → násobení a dělení zleva → sčítání a odčítání zleva.
Letopočty: rok 0 neexistuje. Od 50 př. n. l. do 50 n. l. uplynulo 50 + 50 − 1 = 99 let.
12. Test
Klikni na odpověď. Hned uvidíš, jestli je správně, a proč. Počítej na papír, kalkulačku nepotřebuješ. Na konci zkus test celý znovu – dokud nebudeš mít všechno.
13. Tahák na jednu stranu
Čísla a osa
- Celá čísla: …, −2, −1, 0, 1, 2, … · 0 není kladná ani záporná.
- Větší je to, co je na ose víc vpravo: −3 > −8, 0 > −100.
- Opačné číslo: 7 ↔ −7. Absolutní hodnota = vzdálenost od 0: |−7| = 7.
Sčítání a odčítání
- Stejná znaménka: sečti, znaménko nech (−4 + (−6) = −10).
- Různá znaménka: odečti, znaménko podle větší abs. hodnoty (−9 + 4 = −5).
- a − b = a + (−b): 5 − (−3) = 8 · − (− = + · + (− = −.
- Pozor: −4 − 6 = −10, ne 10.
Násobení a dělení
- Stejná znaménka → + · různá → − : (−6) · (−3) = 18, 18 : (−3) = −6.
- Záporných činitelů sudý počet → +, lichý → −: (−2) · (−3) · (−5) = −30.
- Cokoli · 0 = 0 · nulou dělit nelze.
Pořadí operací
- závorky → · a : zleva → + a − zleva
- 18 − 6 · (−2) = 18 + 12 = 30 (ne −24).
Slovní úlohy
- Rozdíl = větší − menší: z −6 °C na 4 °C → 4 − (−6) = 10 °C.
- Ochladit, klesnout, zaplatit, sjet → odečítám. Oteplit, stoupnout, přijmout, vyjet → přičítám.
- Letopočty: rok 0 není. Př. n. l. a n. l. → sečti a odečti 1 (50 + 50 − 1 = 99 let).