Matematika · otočení a posunutí

Posuň to, otoč to

Posuneš šachovou figurku, otočíš klíčem v zámku – tvar ani velikost se nezmění. Přesně tohle dělají shodná zobrazení. Naučíš se trojúhelník posunout o orientovanou úsečku a otočit kolem bodu o daný úhel, správně to zapsat a nesplést si směr.

Osovou a středovou souměrnost najdeš v kapitole Osová a středová souměrnost, konstrukce trojúhelníku podle sss, sus a usu v kapitole Úhly a konstrukce trojúhelníku.

1. Shodné útvary

Vystřihni z papíru trojúhelník. Můžeš ho posouvat po stole, otáčet, i obrátit na druhou stranu. Pořád je to ten samý trojúhelník – má stejné strany i stejné úhly.

Dva útvary jsou shodné, když jeden můžeš přemístit tak, aby přesně překryl druhý. Tvar ani velikost se přitom nezmění.

Zápis △ABC ≅ △KLM čti „trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem KLM“. Pořadí písmen říká, co si odpovídá: A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M. Proto |AB| = |KL|, |BC| = |LM|, |AC| = |KM| a také ∢A = ∢K, ∢B = ∢L, ∢C = ∢M.

Kdy jsou dva trojúhelníky shodné

Nemusíš porovnávat všech šest údajů. Stačí tři správně vybrané – stejné, jako potřebuješ ke konstrukci:

Věta	Shodují se v…
sss	všech třech stranách
sus	dvou stranách a úhlu, který tyto strany svírají
usu	jedné straně a dvou úhlech, které k ní přiléhají

Podrobně, i s konstrukcí, to máš v kapitole Úhly a konstrukce trojúhelníku.

Fígl na test: V zápisu △ABC ≅ △KLM hledej odpovídající stranu podle pozice písmen. BC jsou 2. a 3. písmeno → v KLM je to taky 2. a 3. písmeno, tedy LM.

2. Co je shodné zobrazení

Zobrazení je pravidlo, které každému bodu přiřadí nový bod. Původnímu útvaru říkáme vzor, novému obraz. Obraz bodu A značíme A′ (čti „A s čárkou“).

Shodné zobrazení: obraz je shodný se vzorem. Délky úseček i velikosti úhlů zůstanou stejné.
A → A′, |A′B′| = |AB|

Bod, který se zobrazí sám na sebe (A′ = A), je samodružný. Zůstane na svém místě.

Čtyři shodná zobrazení

Osová souměrnost

Překlopí útvar přes osu o, jako zrcadlo.

Najdeš ji v kapitole Osová a středová souměrnost.

Středová souměrnost

Každý bod „přeskočí“ přes střed S na druhou stranu.

Taky v kapitole Osová a středová souměrnost.

Posunutí

Všechny body se posunou stejným směrem o stejnou délku.

Výtah, posuvné dveře, šachová věž.

Otočení

Všechny body se otočí kolem středu S o stejný úhel.

Ručičky hodin, volant, ruské kolo.

Na této stránce probereš posunutí a otočení.

3. Posunutí

Posunutí je dané orientovanou úsečkou – úsečkou se šipkou, třeba PQ. Její délka |PQ| říká, o kolik se posouvá. Šipka z P do Q říká, kterým směrem.

Posunutí o orientovanou úsečku PQ: každý bod X se posune do X′ tak, že XX′ ∥ PQ, |XX′| = |PQ| a šipka z X do X′ míří stejně jako z P do Q.

Posunutí můžeš zadat i dvojicí vzor – obraz: „posunutí, které převede bod A do bodu A′“. Pak je orientovaná úsečka přímo AA′.

Co platí při posunutí

• Všechny body se posunou o stejnou délku: |AA′| = |BB′| = |CC′| = |PQ|.

• Všechny šipky AA′, BB′, CC′ jsou rovnoběžné a míří stejným směrem.

• Obraz přímky je rovnoběžná přímka: A′B′ ∥ AB. (Přímka ve směru posunutí se posune sama po sobě.)

• Posunutí nemá žádný samodružný bod – každý bod se pohne.

Fígl na test: Na čtverečkovém papíře nemusíš rýsovat rovnoběžky – stačí odpočítat čtverečky. Když se A posune o 4 čtverečky doprava a 3 nahoru, posuň o 4 doprava a 3 nahoru i B a C.

4. Řešený příklad: posunutí trojúhelníku

Zobraz △ABC v posunutí o orientovanou úsečku PQ, |PQ| = 5 cm.

Rozbor: Každý vrchol posunu po rovnoběžce s PQ o 5 cm ve směru šipky. Kružítkem přenesu délku |PQ|.

Zápis konstrukce:
1. p; p ∥ PQ, A ∈ p
2. k₁; k₁(A; |PQ|)
3. A′; A′ ∈ p ∩ k₁, A′ leží ve směru šipky PQ
4. q; q ∥ PQ, B ∈ q
5. k₂; k₂(B; |PQ|)
6. B′; B′ ∈ q ∩ k₂, ve směru šipky PQ
7. r; r ∥ PQ, C ∈ r
8. k₃; k₃(C; |PQ|)
9. C′; C′ ∈ r ∩ k₃, ve směru šipky PQ
10. △A′B′C′

Diskuse: Přímka p protne kružnici k₁ ve dvou bodech. Vybereš jen ten, který leží od A ve směru šipky z P do Q. Úloha má 1 řešení.

Jak narýsovat rovnoběžku: Přilož trojúhelník s ryskou přeponou na PQ, k němu pravítko. Trojúhelník posouvej po pravítku, dokud nedojedeš k bodu A. Kontrola: A′B′ ∥ AB a |A′B′| = |AB| – změř to.

5. Otočení

Otočení (rotace) potřebuje tři údaje: střed otočení S, velikost úhlu a směr.

Kladný směr (+) = proti směru hodinových ručiček.
Záporný směr (−) = po směru hodinových ručiček.

Otočení kolem S o úhel φ: každý bod X ≠ S se zobrazí do X′ tak, že |SX′| = |SX| a |∢XSX′| = φ (v daném směru). Střed S zůstane na místě.

Každý bod se tedy pohybuje po kružnici se středem S. Vrchol úhlu je vždycky v S – ne ve vrcholu trojúhelníku.

Co platí při otočení

• Vzdálenost od středu se nemění: |SA′| = |SA|.

• Všechny body se otočí o stejný úhel stejným směrem: |∢ASA′| = |∢BSB′| = |∢CSC′|.

• Jediný samodružný bod je střed S. (Výjimka: otočení o 0° nebo 360° nechá na místě všechno.)

• Otočení o 180° je středová souměrnost se středem S. U 180° je jedno, kterým směrem točíš.

Ručičky hodin

Velká ručička oběhne 360° za 60 minut, tedy 6° za minutu. Za 15 minut se otočí o 90° po směru hodinových ručiček, tedy o −90°.

Jeden úhel, dva zápisy

Otočení o +270° skončí tam, kde otočení o −90°. Platí: 270° + 90° = 360° (celá otáčka).

Fígl na test: Nejsi si jistý směrem? Představ si ručičku hodin, která ukazuje na 3. Kladné otočení o 90° ji pošle nahoru na 12, záporné dolů na 6.

6. Řešené příklady: otočení trojúhelníku

a) Kolem bodu S mimo trojúhelník o +90°

Zobraz △ABC v otočení kolem bodu S o 90° v kladném směru.

Rozbor: Každý vrchol spojím se S. U S naměřím 90° proti směru hodinových ručiček a kružítkem přenesu vzdálenost od S.

Zápis konstrukce:
1. ↦SA
2. ↦SX; |∢ASX| = 90°, kladný směr
3. k₁; k₁(S; |SA|)
4. A′; A′ ∈ ↦SX ∩ k₁
5. ↦SB; ↦SY; |∢BSY| = 90°, kladný směr
6. k₂; k₂(S; |SB|)
7. B′; B′ ∈ ↦SY ∩ k₂
8. ↦SC; ↦SZ; |∢CSZ| = 90°, kladný směr
9. k₃; k₃(S; |SC|)
10. C′; C′ ∈ ↦SZ ∩ k₃
11. △A′B′C′

V obrázku jsou ramena úhlu nakreslená jen pro bod A, pro B a C je postup stejný. Čárkované oblouky ukazují cestu každého vrcholu. Úloha má 1 řešení.

Fígl na test: Pro 90° nepotřebuješ úhloměr. Polopřímka SX je kolmice k SA v bodě S – narýsuješ ji trojúhelníkem s ryskou. Jen pohlídej, na kterou stranu.

b) Kolem vrcholu A o −60°

Zobraz △ABC v otočení kolem vrcholu A o 60° v záporném směru.

Rozbor: Střed otočení je vrchol A, takže A′ = A (samodružný bod). Otáčím jen B a C, po směru hodinových ručiček.

Zápis konstrukce:
1. A′ = A
2. ↦AX; |∢BAX| = 60°, záporný směr
3. k₁; k₁(A; |AB|)
4. B′; B′ ∈ ↦AX ∩ k₁
5. ↦AY; |∢CAY| = 60°, záporný směr
6. k₂; k₂(A; |AC|)
7. C′; C′ ∈ ↦AY ∩ k₂
8. △A′B′C′

Fígl na test: U otočení o 60° je △ABB′ rovnostranný (|AB| = |AB′| a úhel mezi nimi 60°). B′ tedy najdeš i bez úhloměru: průsečík kružnic k(A; |AB|) a k(B; |AB|) – ten na správné straně.

7. Vyzkoušej: posuň a otoč

Modrý trojúhelník je vzor, červený obraz. Vyber zobrazení a táhni body (prstem nebo myší, případně šipkami na klávesnici). Obraz se kreslí hned, zelené stopy ukazují, kudy se vrcholy pohnuly.

Táhni bod Q (konec šipky) nebo P (začátek). Jeden čtvereček = 1 cm.

Zkus: U posunutí natoč šipku vodorovně – všechny zelené šipky budou taky vodorovné. U otočení nastav 180° a podívej se, že S leží přesně uprostřed mezi A a A′.

8. Srovnání všech čtyř zobrazení

Orientace = pořadí vrcholů. Obejdi A → B → C. Jdeš proti směru hodinových ručiček? Pak obejdi A′ → B′ → C′. Když jdeš teď opačně, orientace se změnila.

Zobrazení	Co je zadané	Samodružné body	Mění orientaci?
osová souměrnost	osa o	všechny body osy o	ano (útvar se překlopí)
středová souměrnost	střed S	jen S	ne
posunutí	orientovaná úsečka PQ (délka a směr)	žádný	ne
otočení	střed S, velikost úhlu, směr (+/−)	jen S	ne

Fígl na test: Jen osová souměrnost útvar překlopí (jako obrácení papíru na druhou stranu). Ostatní tři ho jen posunou nebo otočí po stole. A středová souměrnost = otočení o 180°.

9. Typické chyby

Otočení o +90°: otočil jsem po směru hodinových ručiček
Plus je opačně: + = proti směru hodinových ručiček, − = po směru

Otočení: A′ jsem dal kamkoli na rameno úhlu
Vzdálenost od středu se musí přenést: k(S; |SA|) → |SA′| = |SA|

Otočení kolem S: úhel 90° jsem naměřil u vrcholu A
Vrchol úhlu je střed otočení: |∢ASA′| = 90°, vrchol S

Posunutí o PQ: A′ leží na p, ale na druhé straně od A
Směr dává šipka: A′ leží od A tam, kam míří šipka z P do Q

Posunutí: každý vrchol jsem posunul trochu jinam
Všechny body stejně: |AA′| = |BB′| = |CC′| = |PQ|, AA′ ∥ BB′ ∥ CC′

Otočení o 180°: trojúhelník jsem překlopil přes přímku
To je osová souměrnost. Správně: každý bod přes S na druhou stranu, |SA′| = |SA|

10. Otázky a odpovědi

Zkus si nejdřív odpovědět sám. Pak klikni na otázku a podívej se na odpověď.

Kdy jsou dva útvary shodné?

Když jeden můžeš přemístit tak, aby přesně překryl druhý.

Mají stejný tvar i velikost: odpovídající si strany jsou stejně dlouhé a úhly stejně velké.

△ABC ≅ △KLM, |AC| = 5 cm. Která strana trojúhelníku KLM měří 5 cm?

A ↔ K, C ↔ M, takže AC ↔ KM.

Co je vzor, obraz a samodružný bod?

Vzor = původní útvar, obraz = co z něj vznikne (A → A′). Samodružný bod se zobrazí sám na sebe: A′ = A.

Čím je dané posunutí?

Orientovanou úsečkou, např. PQ.

Délka |PQ| určuje, o kolik se posouvá, šipka z P do Q určuje směr.

Má posunutí nějaký samodružný bod?

Nemá – každý bod se posune o |PQ|.

Platí to pro každé posunutí o nenulovou úsečku.

Co je obrazem přímky v posunutí?

Přímka s ní rovnoběžná.

Když má přímka stejný směr jako PQ, posune se sama po sobě.

Čím je dané otočení? Který směr je kladný?

Středem S, velikostí úhlu a směrem. Kladný směr = proti směru hodinových ručiček.

Záporný (−) = po směru hodinových ručiček.

Bod A leží 3 čtverečky vpravo od S. Kde bude A′ po otočení kolem S o +90°?

3 čtverečky nad S.

Proti směru hodinových ručiček se „3 hodiny“ otočí na „12“. Po −90° by byl A′ 3 čtverečky pod S.

O kolik stupňů a kterým směrem se otočí velká ručička hodin za 20 minut?

20 · 6° = 120°, po směru hodinových ručiček → −120°

Za minutu 360° : 60 = 6°.

Které zobrazení je otočení o 180°?

Středová souměrnost se středem S.

+180° i −180° skončí na stejném místě: A′ leží na přímce AS za S, |SA′| = |SA|.

Otočení o +270° kolem S – jak to zapsat jinak?

Otočení o −90° kolem S.

270° proti směru ručiček + 90° po směru = celá otáčka 360°, takže skončí na stejném místě.

Které ze čtyř shodných zobrazení mění orientaci?

Jen osová souměrnost.

Překlopí útvar. Středová souměrnost, posunutí ani otočení ho nepřeklopí.

11. Dopiš do sešitu

Tohle si opiš do sešitu. Stačí to na celou kapitolu.

Shodné útvary – jeden jde přemístit na druhý, mají stejný tvar i velikost.
△ABC ≅ △KLM: A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M. Shodnost trojúhelníků: věty sss, sus, usu.

Shodné zobrazení: vzor → obraz (A → A′), obraz je shodný se vzorem.
Samodružný bod: A′ = A.
Osová souměrnost · středová souměrnost · posunutí · otočení.

Posunutí o orientovanou úsečku PQ:
AA′ ∥ BB′ ∥ CC′ ∥ PQ, |AA′| = |BB′| = |CC′| = |PQ|, stejný směr.
Obraz přímky je rovnoběžka. Žádný samodružný bod.
Konstrukce: p ∥ PQ, A ∈ p; k(A; |PQ|); A′ ∈ p ∩ k ve směru PQ.

Otočení kolem středu S o úhel φ:
+ = proti směru hodinových ručiček, − = po směru.
|SA′| = |SA|, |∢ASA′| = φ. Samodružný jen S.
Konstrukce: ↦SA; ∢ASX = φ; k(S; |SA|); A′ ∈ ↦SX ∩ k.
Otočení o 180° = středová souměrnost. +270° = −90°.

Orientaci mění jen osová souměrnost.

12. Test

Klikni na odpověď. Hned uvidíš, jestli je správně, a proč. Na úlohy s obrázkem si vezmi čtverečkovaný papír. Na konci zkus test celý znovu – dokud nebudeš mít všechno.

0 / 0

13. Tahák na jednu stranu

Shodnost

Shodné útvary: jeden jde přemístit přesně na druhý (stejný tvar i velikost).
△ABC ≅ △KLM → A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M, |BC| = |LM|. Shodnost trojúhelníků: sss, sus, usu.
Shodné zobrazení: vzor → obraz, A → A′, délky i úhly se nemění. Samodružný bod: A′ = A.

Posunutí (orientovaná úsečka PQ)

Každý bod o |PQ| ve směru šipky P → Q: AA′ ∥ BB′ ∥ CC′ ∥ PQ, |AA′| = |PQ|.
Obraz přímky = rovnoběžka (A′B′ ∥ AB). Žádný samodružný bod.
Zápis: 1. p; p ∥ PQ, A ∈ p 2. k₁; k₁(A; |PQ|) 3. A′; A′ ∈ p ∩ k₁ ve směru PQ … △A′B′C′
Na čtverečcích: odpočítej, o kolik doprava a nahoru, stejně pro všechny vrcholy.

Otočení (střed S, úhel, směr)

+ = proti směru hodinových ručiček · − = po směru.
|SA′| = |SA|, |∢ASA′| = úhel otočení, vrchol úhlu je S. Samodružný jen S.
Zápis: 1. ↦SA 2. ↦SX; |∢ASX| = φ, směr 3. k₁; k₁(S; |SA|) 4. A′; A′ ∈ ↦SX ∩ k₁ … △A′B′C′
Střed ve vrcholu A → A′ = A. Otočení o 60°: △ABB′ je rovnostranný.
180° = středová souměrnost. +270° = −90°. Ručička: 6° za minutu, směr −.

Srovnání

Osová: osa o, samodružné body osy, mění orientaci.
Středová: S, samodružný S · Posunutí: PQ, žádný · Otočení: S + úhel + směr, samodružný S. Tyto tři orientaci nemění.