➗ Matematika — 6leté gymnázium

🍕 Zlomky a počítání≈ 24 % testu

Kde v testu: úlohy 2–3 (vždy jedna velká za 4 body) + prolínají slovními úlohami · ~12 bodů

Co je vlastně zlomek?

Zlomek je kousek celku. Spodní číslo (jmenovatel) říká, na kolik dílů je celek rozříznutý, horní (čitatel) říká, kolik dílů si bereš. 3/4 pizzy = pizza rozříznutá na 4 díly, ty máš 3. Proto je 1/3 víc než 1/4 — když se dělí na méně lidí, každý dostane víc!

Pravidla — vždy s příkladem

• Krácení: horní i spodní číslo vydělíš stejným číslem a hodnota se nezmění — je to pořád stejný kousek pizzy, jen jinak nakrájený. 6/8 = 3/4 (obojí děleno 2). Výsledek nech vždy v základním tvaru (už nejde krátit) — CERMAT to výslovně chce.
• Sčítání a odčítání: sčítat můžeš jen stejně velké dílky! Třetiny s čtvrtinami nesečteš — nejdřív je překrájej na dvanáctiny: 2/3 = 8/12 a 1/4 = 3/12, teprve teď 8 + 3 = 11 dílků → 11/12. Jmenovatele se nikdy nesčítají — to by se dílky zvětšovaly, což nedává smysl.
• Násobení: „polovina ze třetiny" = 1/2 · 1/3 = 1/6 — proto se násobí čitatel s čitatelem a jmenovatel se jmenovatelem. Trik: krať křížem před násobením, čísla zůstanou malá: 2/5 · 5/8 → pětky se zkrátí → 2/8 = 1/4.
• Dělení: „kolikrát se vejde 3/8 do 3/4?" → otoč druhý zlomek a násob: 3/4 · 8/3 = 2. Vejde se dvakrát — dává smysl, 3/8 je přesně polovina z 3/4.
• Smíšené číslo: 2⅓ znamená 2 celé a třetina = 7 třetin (2 · 3 + 1 = 7) → 7/3. Před každým počítáním převeď na zlomek, se smíšeným tvarem se počítat nedá.
• Zlomek z čísla: 3/5 ze 45 → nejdřív jedna pětina (45 : 5 = 9), pak tři takové (9 · 3 = 27). Vždy: vyděl jmenovatelem, vynásob čitatelem.
• Porovnávání: převeď na společný jmenovatel, nebo na desetinná čísla (2/3 ≈ 0,67 a 5/8 = 0,625 → 2/3 je víc).

🔢 Celá a desetinná čísla, dělitelnostv úlohách 1–6

Kde v testu: krátké výpočty na začátku + uvnitř slovních úloh

Záporná (celá) čísla

Nejlepší pomůcka je teploměr: záporné číslo = kolik stupňů pod nulou. Sčítání = jdu nahoru, odčítání = jdu dolů.

• (−8) + 5 = −3 → bylo −8 °C, oteplilo se o 5 → je −3 °C. Zkus si to vždycky říct jako počasí!
• Minus krát minus = plus: (−4) · (−6) = 24. Proč? Násobení záporným číslem věci „obrací" — a dvojí obrácení míří zase dopředu. Minus krát plus zůstává minus: (−4) · 6 = −24.
• Odečíst záporné číslo = přičíst: −3 − (−7) = −3 + 7 = 4. „Vzali ti dluh" = jako by ti přidali. Dvě minus vedle sebe se mění na plus.

Desetinná čísla

• Sčítání a odčítání pod sebou: čárka musí být pod čárkou, jinak sčítáš jablka s hruškami. K celému číslu si dopiš nuly: 15 − 3,87 piš jako 15,00 − 3,87 = 11,13. Většina chyb vzniká špatným podepsáním řádů!
• Násobení: nejdřív násob bez čárky, pak čárku vrať — výsledek má tolik desetinných míst, kolik mají obě čísla dohromady. 0,5 · 0,5: 5 · 5 = 25, dvě desetinná místa → 0,25.
• Dělení desetinným číslem: dělit se dá jen celým číslem — tak posuň čárku u obou čísel stejně (to smíš, poměr se nezmění): 7,2 : 0,08 → posuň o dvě místa → 720 : 8 = 90.
• Zaokrouhlování: podívej se na PRVNÍ vynechanou číslici: 0–4 → dolů, 5–9 → nahoru. 47,285 na setiny: vynechávám 5 → 47,29.

Dělitelnost

• Znaky dělitelnosti — poznáš je bez počítání: dvěma (končí sudou číslicí), pěti (končí 0 nebo 5), deseti (končí 0), třemi (ciferný součet dělitelný třemi: 741 → 7+4+1 = 12 → ano!), devíti (ciferný součet dělitelný devíti).
• Prvočíslo = dělitelné jen jedničkou a samo sebou (2, 3, 5, 7, 11, 13…). Pozor na „falešná prvočísla": 51 = 3 · 17, 57 = 3 · 19, 91 = 7 · 13. Než řekneš „prvočíslo", zkus ciferný součet a dělení sedmi!
• NSN (nejmenší společný násobek) = nejmenší číslo, kde se obě čísla „potkají". Vypisuj násobky většího: 8, 16, 24 — 24 je dělitelné i šesti → NSN(6, 8) = 24. Použití: společný jmenovatel zlomků, „za kolik dní se zase potkají".
• NSD (největší společný dělitel) = největší číslo, kterým jdou vydělit obě: NSD(24, 36) = 12. Použití: krácení zlomků a poměrů na základní tvar.

🕵️ Slovní a logické úlohy≈ 16 % testu

Kde v testu: úlohy 4–6 (otevřené s postupem) a 12–16 (uzavřené) · ~8 bodů

Postup, který funguje vždy

1. Přečti dvakrát, podtrhni otázku (na co se ptají — spočítat správně jinou věc je nejčastější ztráta).
2. Zápis: znám / hledám. U pohybu tabulka rychlost–čas–dráha (s = v · t), u věků a počtů náčrtek dílů.
3. Odpověď celou větou s jednotkou + kontrola smyslu.

Tři klíčové metody — nauč se je jako kouzla

• 1. Metoda dílků — když se něco porovnává („třikrát starší", „o polovinu víc"): nakresli dílky. „Otec je 3× starší než syn, spolu 48 let" → syn ■, otec ■■■ → dohromady 4 stejné dílky = 48 → jeden dílek 12. Syn 12, otec 36, zkouška 12 + 36 = 48 ✓. Funguje i na peníze, kuličky, cokoli.
• 2. Odzadu — když znáš konec a hledáš začátek: „Přečetl polovinu knihy a ještě 20 stran, zbývá mu 30." Jdi od konce: za polovinou knihy leží 20 + 30 = 50 stran → polovina = 50 → kniha má 100 stran. Vždycky když úloha končí slovy „kolik bylo na začátku", zkus to odzadu.
• 3. Chytrý pokus — když jsou v úloze dva druhy věcí: „Slepice a králíci, 10 hlav, 28 nohou." Představ si, že je všech 10 slepic → 20 nohou. Přebývá 8 nohou — a každá výměna slepice za králíka přidá 2 nohy → 8 : 2 = 4 králíci (a 6 slepic). Zkouška: 4·4 + 6·2 = 28 ✓.

🧊 Obvod, obsah, tělesa≈ 16 % testu

Kde v testu: úloha 7 + uzavřené 12–14 a 16 · ~8 bodů

Vzorce (kompletní vzorník s obrázky je v záložce Manuál)

Jak na to — postupy s příkladem

• Rozdíl mezi obvodem a obsahem si pamatuj takhle: obvod = plot okolo zahrady (měří se v cm, m), obsah = tráva uvnitř (měří se v cm², m²). Obdélník 6 × 4: plot 2·(6+4) = 20 m, trávy 6 · 4 = 24 m².
• Složený obrazec (tvar L, schody…): rozstříhej ho v hlavě na obdélníky, spočítej každý zvlášť a sečti. Nebo naopak: velký obdélník MINUS chybějící kus. Obě cesty vedou ke stejnému výsledku — vyber si tu s menším počítáním.
• Výška patří ke „své" straně: v S = ½ · a · vₐ musí být výška kolmá právě na stranu a. Když test nabídne dvě výšky, vyber tu, která patří k základně, se kterou počítáš.
• Objem vs. povrch: objem = kolik se do krabice vejde (cm³), povrch = kolik papíru potřebuješ na polepení (cm²). Kvádr 5×4×3: objem 60 cm³, povrch 2·(20+15+12) = 94 cm².
• Síť krychle = rozložená krabice, 6 čtverců. Otázka „které stěny jsou protilehlé?" — v síti tvaru kříže jsou protilehlé ty, mezi kterými je právě jedna stěna.
• Před počítáním sjednoť jednotky (všechno na cm, NEBO všechno na m) a u výsledku hlídej ², ³.

💯 Procenta, poměr, trojčlenka≈ 14 % testu

Kde v testu: úloha 15 (přiřazovací, 6 bodů, každý rok stejný formát!) + menší úlohy · ~7 bodů

Co jsou procenta?

Procento = setina celku. Představ si celek nakrájený na 100 stejných kousků — jeden kousek je 1 %. Proto je klíč ke každé úloze: najdi, kolik je 1 %, a pak už jen násob.

Tři typy úloh — jiné zadání, stejný klíč

• „Kolik je 15 % ze 400?" → 1 % je 400 : 100 = 4 → 15 % je 15 · 4 = 60.
• „Kolik procent je 18 z 60?" → jaká část to je? 18/60 = 3/10 → 30 %. (Zlomek → desetinné číslo → krát sto.)
• „25 % čísla je 80. Jaké je to číslo?" → teď znáš kousek a hledáš celek: 25 % = čtvrtina, takže celek = 4 · 80 = 320. Obecně: 1 % = 80 : 25 = 3,2 → 100 % = 320.

Sleva a zdražení — vždy si najdi, co je 100 %: „Po zdražení o 10 % stojí bunda 550 Kč" → 550 Kč je 110 % (původní cena + desetina), takže 1 % = 5 Kč a původní cena = 500 Kč. Kdo počítá 10 % z 550, spadl do pasti.

Poměr

• Dělení v poměru 5 : 4 z 720 → 9 dílů po 80 → 400 a 320.
• Změna v poměru 5 : 4 → násobím 5/4 (číslo se zvětší).
• Měřítko mapy 1 : 50 000 → 3 cm = 150 000 cm = 1,5 km.

Trojčlenka

✏️ Konstrukční úlohy≈ 12 % testu

Kde v testu: úlohy 8–9, vždy dvě · 5–6 bodů

Rituál (vždy stejný)

1. Náčrtek od ruky, vyznač zadané prvky.
2. Rozbor: co umím sestrojit hned, co z toho plyne dál.
3. Konstrukce tužkou — pomocné čáry a oblouky NEGUMOVAT.
4. Popsat vrcholy, zkontrolovat proti zadání (změř), obtáhnout propiskou (čáry i písmena).

Stavební kameny — z nich se skládá každá konstrukce

• Trojúhelník ze tří stran (SSS): narýsuj nejdelší stranu, z jednoho konce oblouk s poloměrem druhé strany, z druhého konce oblouk s poloměrem třetí — kde se oblouky protnou, tam je třetí vrchol. Rovnostranný trojúhelník = všechny strany stejné, každý úhel 60° (tak se bez úhloměru rýsuje šedesátka!).
• Osa úsečky: ze OBOU krajních bodů oblouky se STEJNÝM poloměrem (větším než polovina úsečky), spoj oba průsečíky. Každý bod osy má od obou konců stejně daleko — proto s ní najdeš střed úsečky i střed kružnice.
• Kolmice a rovnoběžka pravítkem s ryskou: ryska se přiloží na přímku, tužka vede po hraně. Kolmice = otočit pravítko ryskou na čáru.
• Rovnoběžník: protější strany jsou rovnoběžné a stejně dlouhé. Čtvrtý vrchol najdeš kružítkem: přenes vzdálenosti z obou sousedních vrcholů (dva oblouky → průsečík).
• Osová souměrnost (zrcadlo): z bodu veď kolmici na osu a za osu přenes stejnou vzdálenost. Středová souměrnost (otočení o půl otáčky): veď polopřímku přes střed a za střed přenes stejnou vzdálenost.
• Výška = kolmice z vrcholu na protější stranu. Těžnice = spojnice vrcholu se STŘEDEM protější strany (střed najdeš osou úsečky).

📐 Úhly a souměrnost≈ 8 % testu

Kde v testu: úloha 11 (téměř vždy úhly, 2 body) + ANO/NE blok (osy souměrnosti obrazců) · ~4 body

Čtyři pravidla vyřeší skoro každou úhlovou úlohu

• Vrcholové úhly jsou stejné. Když se dvě přímky protnou, vzniknou dva páry „protilehlých nůžek" — proti sobě jsou vždy stejně otevřené. Úhel 52° → naproti němu taky 52°.
• Vedlejší úhly dávají dohromady 180°. Sousedí na jedné přímce — a přímka je „rozevřená" na 180°. Vedle úhlu 74° je tedy 180 − 74 = 106°.
• Vnitřní úhly trojúhelníku dají vždy 180°. Znáš dva? Třetí dopočítáš: 48° a 63° → třetí je 180 − 48 − 63 = 69°. U rovnoramenného jsou úhly při základně stejné: nahoře 40° → dole zbývá 140° na dva stejné → po 70°.
• Rovnoběžky proťaté příčkou: souhlasné úhly (na stejné straně, „posunuté po příčce") a střídavé (do kříže přes příčku) jsou stejné. Takhle „přeneseš" známý úhel z jedné rovnoběžky na druhou — přesně to chtějí úlohy s rovnoběžnými základnami.

Jak řešit úhlovou úlohu: piš si velikosti přímo do obrázku. Z každého známého úhlu „vyždímej" sousedy (vedlejší, vrcholový), pak doplňuj trojúhelníky do 180°. Za dvě tři kola je hotovo.

⚖️ Převody jednotek≈ 6 % samostatně, prolínají vším

Kde v testu: ANO/NE blok (úloha 10) + uvnitř slovních a geometrických úloh · ~3 body přímo, další nepřímo

Základní myšlenka: menší jednotka → větší číslo. Stejná vzdálenost je 2 km, ale 2 000 m — metr je menší, tak jich potřebuješ víc. Když převádíš na menší jednotku, násobíš; na větší jednotku, dělíš. A pozor: u ploch (m²) a objemů (m³) se převodní číslo umocňuje — čtvereční metr je čtverec metr krát metr, takže 100 · 100 = 10 000 cm².

Prošli jsme všech 38 testů pro 6letá gymnázia — tohle jsou převody, které se v nich skutečně opakují (★ = skoro v každém testu):

📊 Grafy, tabulky, průměr≈ 4 % testu

Kde v testu: uzavřené úlohy 11–14 · ~2 body

• Aritmetický průměr = všechno sečti a vyděl počtem. Průměr známek 1, 2, 2, 3 → (1+2+2+3) : 4 = 2. Průměr je „spravedlivé rozdělení" — jako by všichni měli stejně.
• Graf četností (kolik žáků má jakou známku): tady musíš každou známku násobit počtem žáků, kteří ji mají. 2 jedničky, 6 dvojek, 8 trojek, 4 čtyřky → (2·1 + 6·2 + 8·3 + 4·4) : 20 = 54 : 20 = 2,7. Sečíst jen sloupečky (1+2+3+4) : 4 je přesně ta chyba, na kterou je nastražená odpověď „E".
• Tabulky a jízdní řády: než začneš počítat, přečti si popisky řádků a sloupců a najdi hledané číslo prstem. Polovina chyb v testu = správný výpočet se špatným číslem z tabulky.