Matematika · 4leté obory · Přijímačky CERMAT

🏁 Ahoj! Takhle se připravíš

1📖 Přečti si kapitolu

Obrázky ti ukážou, jak se to počítá. Žluté rámečky se nauč nazpaměť — to jsou věci na zvýraznění.

2🏋️ Hned si dej trénink

Stejné téma, jaké sis přečetl/a. Když se spleteš, appka ti hned vysvětlí proč.

3📝 Jednou týdně test naostro

Vytiskni si opravdový test CERMAT, budík na 70 minut a piš jako u zkoušky. Výsledek zapiš do deníku.

Co znamenají barevné rámečky v kapitolách

✏️ Zapamatuj si — tohle se nauč nazpaměť a zvýrazni si to

Řešený příklad — takhle přesně vypadá postup, krok za krokem

Pozor, past! — tady dělají ostatní chyby. Ty ne 😉

👨‍👩‍👧 Pro rodiče: záložka 📋 O testu shrnuje pravidla zkoušky a strategii.

Jak test vypadá

Čas	70 minut čistého času
Body	max. 50 bodů
Počet úloh	zpravidla 16 úloh, řada z nich má více podúloh
Termíny	test se píše dvakrát — počítá se lepší výsledek
Povolené pomůcky	propiska, tužka, guma, pravítko s ryskou, kružítko, úhloměr
Zakázáno	kalkulačka i tabulky
Co se hodnotí	jen záznamový arch; za špatné odpovědi se nestrhávají body

Jak je test poskládaný

Úlohy 1–3: krátké výpočty (zlomky, mocniny, výrazy).
Úlohy 4–7: rovnice, slovní úlohy a geometrie — otevřené s postupem.
Úlohy 8–9: konstrukce — rýsuje se tužkou a obtahuje propiskou.
Úloha 10: blok ANO/NE za 4 body.
Úlohy 11–16: uzavřené (výběr A–E, přiřazovací za 6 bodů) — často tělesa, procenta, grafy.

Strategie

Neřešit popořadě — začít tím, co jde nejlíp (krátké výpočty a zaškrtávačky), těžké přeskočit a vrátit se.
Kde je předepsán postup, psát postup — bez něj nejsou plné body.
Posledních 10 minut: kontrola archu, jednotky, všechno zaškrtnuté.

Z čeho se test skládá

Podíly jsou přibližné (podle testů 2015–2026). Kliknutím na téma přejdeš na kapitolu s vysvětlením.

🧮 Výrazy a rovnice≈ 20 % testu

Páteř testu — úpravy výrazů a lineární rovnice

1️⃣ Co je to výraz? (jako bys to viděl/a poprvé)

Výraz je obyčejné počítání, ve kterém se místo jednoho čísla objevuje písmeno — třeba x. To písmeno je krabička, ve které se skrývá nějaké číslo, jen zatím nevíme jaké. Výraz 2x + 3 znamená: „vezmi to, co je v krabičce, zdvojnásob a přidej 3." Když do krabičky vložíš 5, výraz má hodnotu 2 · 5 + 3 = 13. Nic víc v tom není.

Dvě základní pravidla práce s výrazy:

Sčítat jde jen stejné krabičky: 2x + 3x = 5x (dvě x a tři x je pět x). Ale 2x + 3 sečíst nejde — krabičky a čísla jsou různé věci, zůstává 2x + 3.
Roznásobení závorky: 3(x + 2) znamená „třikrát celá závorka" → 3x + 6. Číslo před závorkou násobí každý člen uvnitř.

2️⃣ Vzorce — tyhle tři karty musíš znát nazpaměť

(a + b)²
= a² + 2ab + b²druhá mocnina součtu
(x + 3)² = x² + 6x + 9

(a − b)²
= a² − 2ab + b²druhá mocnina rozdílu
(x − 5)² = x² − 10x + 25

(a + b)(a − b)
= a² − b²rozdíl čtverců
(x + 3)(x − 3) = x² − 9

a(b + c)
= ab + acroznásobení závorky
3(x − 2) = 3x − 6

−(a − b)
= −a + bminus před závorkou
obrací VŠECHNA znaménka

3️⃣ Co je to rovnice a jak se řeší

Rovnice jsou váhy v rovnováze: levá miska = pravá miska. Hledáme, co musí být v krabičce x, aby to platilo. Smíš udělat cokoli — přičíst, odečíst, vynásobit, vydělit — ale vždy s oběma miskami zároveň, jinak se váhy vychýlí.

Řešený příklad krok za krokem: 5x − 7 = 2x + 8

Neznámé doleva: odečti 2x z obou stran → 3x − 7 = 8.
Čísla doprava: přičti 7 k oběma stranám → 3x = 15.
Osamostatni x: vyděl obě strany třemi → x = 5.
Zkouška (10 vteřin, zachrání body): levá 5·5 − 7 = 18, pravá 2·5 + 8 = 18 ✓

Ještě jeden — se závorkou: 3(x − 2) = x + 8

Nejdřív roznásob: 3x − 6 = x + 8.
Neznámé doleva (−x), čísla doprava (+6): 2x = 14 → x = 7. Zkouška: 3 · (7 − 2) = 15 a 7 + 8 = 15 ✓

4️⃣ Dosazování do výrazu

„Vypočti hodnotu výrazu 2a² pro a = 3" → do krabičky vlož 3 a dodrž pořadí operací: nejdřív mocnina (3² = 9), pak násobení (2 · 9 = 18). Kdo umocní až po vynásobení, dostane (2·3)² = 36 — a přesně tahle špatná odpověď v nabídce vždycky číhá.

✏️ TO NEJDŮLEŽITĚJŠÍ (zvýrazni si!): ① Tři vzorce z karet: (a+b)² = a²+2ab+b² · (a−b)² = a²−2ab+b² · (a+b)(a−b) = a²−b². ② (a + b)² NENÍ a² + b² — nezapomeň na prostřední člen 2ab! ③ Minus před závorkou obrací všechna znaménka. ④ Rovnice = váhy: každá úprava na obě strany. ⑤ Po vyřešení vždy zkouška dosazením.

Pozor, past! Dosazení do 2a² pro a = 3: nejdřív mocnina, pak násobení → 2 · 9 = 18 (ne 36!). A (x + 3)² = x² + 6x + 9, nikdy ne x² + 9.

🔢 Čísla, zlomky, mocniny≈ 18 % testu

Úlohy 1–3 — rychlé jisté body na začátku testu

První tři úlohy jsou „rozcvička" — krátké výpočty, kde nerozhoduje chytrost, ale přesnost. Kdo má natrénované zlomky a hlídá si znaménka a pořadí operací, má za tři minuty 6–9 bodů v kapse.

Zlomky: sčítání přes společný jmenovatel, dělení = násobení převráceným, výsledek v základním tvaru.
Záporná čísla: minus · minus = plus; pozor (−3)² = 9, ale −3² = −9!
Mocniny: a² · a³ = a⁵ (sčítají se exponenty). Odmocniny: √81 = 9, √(a²) = a.
Pořadí operací: závorky → mocniny → krát a děleno → plus a minus.
Desetinná čísla: dělení = posuň čárku u obou (7,2 : 0,08 = 720 : 8 = 90).

Převody jednotek, které test opravdu chce

Prošli jsme všech 28 testů pro 4leté obory — tohle se v nich skutečně opakuje (★ = skoro v každém testu). Deváťácká specialita: krychlové jednotky — cm³ je v každém třetím testu (objemy hranolů a válců)!

Veličina	Převody	V testech
délka	1 m = 100 cm · 1 km = 1 000 m	★★★ pořád
objem	1 ℓ = 1 dm³ · 1 ml = 1 cm³ · 1 m³ = 1 000 ℓ	★★★ cm³ v každém 3. testu
obsah	1 m² = 10 000 cm² · 1 dm² = 100 cm² · 1 ha = 10 000 m²	★★★ pořád
čas	1 h = 60 min · 45 min = 0,75 h	★★ často
hmotnost	1 kg = 1 000 g · 1 t = 1 000 kg	★★ často
rychlost	km/h ↔ m/s: děl / násob 3,6 (36 km/h = 10 m/s)	★ výjimečně, ale uměj

✏️ Zapamatuj si: ① (−3)² = 9, ale −3² = −9. ② Jmenovatele se nesčítají. ③ Nejdřív mocniny, pak násobení, nakonec sčítání. ④ Převody: 1 ℓ = 1 dm³, 1 ml = 1 cm³, 1 m² = 10 000 cm² — u ploch se převodní číslo umocňuje na druhou, u objemů na třetí.

Pozor, past! 3/4 − 2/3: společný jmenovatel 12 → 9/12 − 8/12 = 1/12 (ne 1/1!).

📐 Rovinná geometrie≈ 14 % testu

Pythagorova věta, kruh, úhly, obsahy

Pythagorova věta je nejslavnější vzorec školní matematiky: v pravoúhlém trojúhelníku platí c² = a² + b². Znamená to, že když znáš dvě strany, třetí vždycky dopočítáš — proto se hodí na žebříky u zdi, úhlopříčky obrazovek i vzdálenosti na mapě.

Co	Vzorec
Pythagorova věta	c² = a² + b² (c = přepona, proti pravému úhlu)
kružnice — obvod	o = 2 · π · r (π ≈ 3,14)
kruh — obsah	S = π · r²
trojúhelník	S = ½ · a · vₐ · úhly dají 180°
lichoběžník	S = ½ · (a + c) · v

Řešený příklad: Žebřík dlouhý 10 m je opřený 6 m od zdi. Jak vysoko dosáhne?

Náčrtek: pravoúhlý trojúhelník, přepona 10 (žebřík), odvěsna 6 (země).
v² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64 → v = 8 m. Trojice 6–8–10 se v testech pořád vrací!

✏️ Zapamatuj si: ① c² = a² + b², přepona je vždy proti pravému úhlu. ② Známé trojice: 3–4–5 a 6–8–10. ③ Obvod kruhu 2πr, obsah πr² — nezaměňovat!

Pozor, past! Pythagoras platí JEN v pravoúhlém trojúhelníku. A při hledání odvěsny se odčítá: a² = c² − b².

🧊 Tělesa≈ 14 % testu

Hranoly a válce — oblíbené téma posledních ročníků

Všechna „rovná" tělesa (kvádr, hranol, válec) mají stejné kouzlo: objem = obsah podstavy · výška. Představ si, že podstavu „vytáhneš" do výšky jako komín — proto se vzorec u všech opakuje. Povrch je naopak „kolik balicího papíru potřebuju": dvě podstavy + plášť okolo.

Těleso	Objem	Povrch
kvádr	V = a · b · c	S = 2(ab + ac + bc)
krychle	V = a³	S = 6a²
hranol	V = S_podstavy · výška	S = 2 · S_p + plášť
válec	V = π · r² · v	S = 2πr² + 2πr · v

Univerzální trik: objem = podstava krát výška — platí pro kvádr, hranol i válec.
Jednotky: 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 litrů; 1 litr = 1 dm³.

✏️ Zapamatuj si: ① V = S podstavy · výška (hranol i válec). ② 1 litr = 1 dm³. ③ U povrchu nezapomeň na OBĚ podstavy.

Pozor, past! „Kolik litrů vody se vejde" = objem v dm³ — před výpočtem převeď rozměry na dm!

💯 Procenta a úměrnosti≈ 14 % testu

Procenta, poměr, trojčlenka, měřítko

Procento = setina celku. Klíč ke každé procentové úloze je stejný: nejdřív zjisti, kolik je 1 % (celek děleno stem), pak násob. A u slev a zdražení si VŽDY nejdřív ujasni, co je 100 % — základ, ze kterého se počítá.

1 % = celek ÷ 100. 15 % z 240 → 2,4 · 15 = 36.
Základ u slev: „po slevě 20 % stojí 480" → 480 je 80 % → původní cena 600 (ne 480 + 96!).
Poměr: rozdělit 320 v poměru 3 : 5 → 8 dílů po 40 → 120 a 200.
Trojčlenka: šipky stejným směrem = přímá úměra (víc → víc), proti sobě = nepřímá (víc → míň).
Měřítko 1 : 25 000 → 4 cm na mapě = 100 000 cm = 1 km.

✏️ Zapamatuj si: ① Vždy si ujasni, co je 100 %. ② ½ = 50 %, ¼ = 25 %, ⅕ = 20 %, ⅛ = 12,5 %. ③ U měřítka hlídej převod cm → km.

Pozor, past! Zdražení o 10 % a pak zlevnění o 10 % NENÍ původní cena (1,1 · 0,9 = 0,99). Základ se mezitím změnil!

✏️ Konstrukce≈ 10 % testu

Úlohy 8–9 — trojúhelníky, čtyřúhelníky, množiny bodů

Konstrukce je jediná část testu, kde se dá natrénovat úplně všechno dopředu — typů je jen pár a opakují se. Klíč je znát „množiny bodů": každá věta v zadání (např. „bod X má stejnou vzdálenost od A i B") ti říká, na jaké čáře bod leží. Průsečík dvou takových čar = hledaný bod.

Rituál (vždy stejný)

Náčrtek od ruky s vyznačením zadaných prvků.
Rozbor: co umím sestrojit hned a co z toho plyne.
Konstrukce tužkou — oblouky NEGUMOVAT, popsat vrcholy.
Obtáhnout propiskou a zkontrolovat podle zadání.

Množiny bodů, které musí znát

Body stejně vzdálené od dvou bodů → osa úsečky.
Body stejně vzdálené od ramen úhlu → osa úhlu.
Body ve stejné vzdálenosti od jednoho bodu → kružnice.
Vrcholy pravých úhlů nad úsečkou → Thaletova kružnice.

✏️ Zapamatuj si: ① Osa úsečky = stejná vzdálenost od krajních bodů. ② Thaletova kružnice = pravé úhly. ③ „Najděte všechna řešení" = často dvě.

Pozor, past! Trojúhelníková nerovnost: ze stran 3, 4, 8 trojúhelník nesestrojíš (3 + 4 < 8). Zkontroluj před rýsováním!

🕵️ Slovní úlohy a data≈ 10 % testu

Pohyb, společná práce, grafy a průměr

Slovní úloha je příběh, ve kterém je schovaný výpočet. Tvůj úkol: přeložit češtinu do matematiky. Podtrhni otázku, vypiš co znáš, nakresli si situaci — a výpočet se většinou objeví sám.

Pohyb: dráha = rychlost · čas (s = v · t). Tabulka s–v–t pro každé vozidlo zvlášť.
Společná práce: za hodinu udělá 1/6 + 1/3 = 1/2 práce → spolu hotovo za 2 hodiny.
Průměr = součet ÷ počet. U grafu četností násob hodnotu počtem.
Podtrhni otázku, piš si mezivýsledky s poznámkou, odpověz větou s jednotkou.

✏️ Zapamatuj si: ① s = v · t. ② Společná práce se sčítá přes výkony za hodinu. ③ Průměr = součet ÷ počet.

Pozor, past! 45 minut = 0,75 hodiny (ne 0,45!). Čas v úlohách o pohybu vždy převeď na hodiny.

Skutečné testy CERMAT — 2015 až 2026

Nejcennější trénink: jednou týdně vytisknout test, 70 minut ticha, pak společná oprava podle klíče a zápis do deníku. Všechna zadání včetně klíčů a u řady ročníků i vzorových řešení jsou zdarma na oficiálních stránkách CERMAT:

→ prijimacky.cermat.cz — čtyřleté obory, matematika (testy + klíče)

Začínejte ročníky se vzorovými řešeními — ideální na učení z chyb; 2025–2026 si nechte jako generálky.

Deník výsledků

Po každém testu naostro zapiš výsledek — cíl je stabilně nad 35 bodů.

Vyber téma k procvičení

U každého tématu se ukládá úspěšnost — uvidíš, co ti jde a co dotrénovat. U každé kartičky je i odkaz na vysvětlení látky.

➗ Matematika — 4leté obory a gymnázia